启智树冲省队组Day5T3 划分

首先可以把题意转化一下:

把一棵点带权树上的 \(n\) 个点划分为 \(A\)，\(B\) 两个集合，一种划分方案的代价是：来自 \(A\) 集合的代价:\(\sum_{i}d_i+g(A)-\sum_{x \gets y}[w_x \le w_y]\)；来自 \(B\) 集合的代价：\(\sum_{x \gets y}[w_x < w_y]\)。其中 \(x \gets y\) 表示 \(x\) 是 \(y\) 的祖先， \(g(A)={|A| \choose 2}\)，\(d_i\) 表示 \(i\) 到根的距离。总代价为两集合的代价之和。

全部在 \(B\) 集合的情况非常好算，考虑从 \(B\) 中逐个取点加入到 \(A\) 中。

如果点权互不相同，则容易发现取每个点的代价为 \(d_i - a_i - b_i\)，其中 \(a_i\) 表示比 \(i\) 小的祖先个数， \(b_i\) 表示比 \(i\) 大的子孙个数。它们与 \(A,B\) 集合的状态无关，所以从小到大排序后一个个加入即可。

如果有点权相同的情况，则代价应该是 \(d_i - a_i - b_i - c_i\)，其中 \(c_i\) 表示目前 \(A\) 集合中与 \(i\) 有祖先子孙关系的点中与 \(i\) 权值相同的点的个数。这时候我们不知道 \(c_i\) 是多少，并且不知道取走 \(d_i - a_i - b_i - c_i\) 最小的点的后续转移是否更优。

不过看起来如果存在祖先子孙权值相同，先取祖先好像更优。因为 \(d_x - a_x \le d_y - a_y\)（尽管可能 \(a_x \le a_y\)，但是 \(d_x < d_y\) 有压倒性优势），并且一定有 \(-b_x - c_x \le -b_y - c_y\)，于是当前祖先一定比子孙更优。并且选择祖先的后续转移也比子孙的好，因为选择祖先能“惠及”更多的点有 \(-c_i\) 的代价。因此，选择一个点的时候与其相等祖先一定全部被选，与其相等的子孙一定全没被选。据此，\(c_i\) 还可以表示为与 \(i\) 相等的祖先的个数。

每个点的 \(a_i,b_i,c_i,d_i\) 可以用树状数组算出。

关键代码：

int fa[N], dep[N];
int a[N], b[N];
void dfs1(int cur, int faa) {
	fa[cur] = faa; dep[cur] = dep[faa] + 1;
	a[cur] = query(w[cur]);
	add(w[cur], 1);
	for (register int i = head[cur]; i; i = e[i].nxt) {
		int to = e[i].to; if (to == faa)	continue;
		dfs1(to, cur);
	}
	add(w[cur], -1);
}
void dfs2(int cur, int faa) {
	add(w[cur], 1);
	b[cur] -= (query(ltot) - query(w[cur]));
	for (register int i = head[cur]; i; i = e[i].nxt) {
		int to = e[i].to; if (to == faa)	continue;
		dfs2(to, cur);
	}
	b[cur] += (query(ltot) - query(w[cur]));
}

int id[N];
inline bool cmp(const int x, const int y) {
	return dep[x] - a[x] - b[x] < dep[y] - a[y] - b[y];
}

ll ans[N];
int main() {
	read(n);
	for (register int i =1 ; i <= n; ++i)	read(w[i]), h[i] = w[i];
	lsh();
	for (register int i =1 ; i < n; ++i) {
		int u, v; read(u), read(v);
		addedge(u, v), addedge(v, u);
	}
	dep[0] = -1;
	dfs1(1, 0);
	dfs2(1, 0);
	for (register int i = 1; i <= n; ++i)	id[i] = i;
	sort(id +1 , id + 1 + n, cmp);
	ll res = 0;
	for (register int i = 1; i <= n; ++i)	res += b[i];
	ans[n] = res;
	for (register int i = 1; i <= n; ++i) {
		int p = id[i];
		res += dep[p] - a[p] - b[p];
		ans[n - i] = res + ((1ll * i * (i - 1)) >> 1);
	}
	for (register int i = 0; i <= n; ++i)
		printf("%lld\n", ans[i]);
	return 0;
}