拉格朗日插值
拉格朗日插值负责搞这样一个问题：
有一个给了 n 个特定点值的 n - 1 次函数（并不给表达式），然后我随机给一个数，求其值。
如，给定 (1, 2), (4, 12), (123, 432) 的二次函数，求在函数上的点 (34433223, y) 的 \(y\) 的值。
方法
如果我们能构造一个函数，符合所有给定点都在函数图像上，那么该函数即为所求函数。
考虑类似中国剩余定理的方法：当我们带入其中一个点 \(x_i\) 的时候，要求 \(y_i\) 为给定值，那么我们考虑把对于每一个点的式子加一块，如果式子恰好是关于点 \(i\) 的，那么就让其值为给定的那个 \(y_i\)；否则让其为 \(0\)。
对于加粗部分如何实现？和CRT一样，我们构造一种连乘式，其中第 \(i\) 个连乘式恰好不包含 \(x_i\)。 对于第 \(i\) 个式子，我们让连乘式中所有的式子都为1；对于其它的式子，我们让连乘式中的某一项为0.
重点！！！
背过！！
假设我们给了个 \(x_i\)，那么当第一层循环不为 \(i\) 的时候，一定存在一个 \(j\)，使得 \(x\) 自己减自己，这样连乘式中一项为0，故有 \(\prod _ {j \not= i} x-x_j\)；第一层循环到 \(i\) 的时候，要求那个连乘式一定为1，因此除一下 \(x_i - x_j\) 即可，即 \(\prod \frac{x-x_j}{x_i-x_j}\)。
构造好式子以后，我们代入其它的 \(x\) 得到的 \(y\) 也就一定符合这个函数了。
单次复杂度：\(O(n^2)\)
背过！！
例题
P4781 【模板】拉格朗日插值
T130226 一起学习的日子（study）
题意：
求：
其中 \(k <= 3000,n,a,d<=1e9\)
题解：
我们知道：
1 + 1 + 1 + ... + 1 可以表示为一次多项式(n)，
1 + 2 + 3 + ... + n 的值可以表示为二次多项式(\(n * (n + 1) / 2\))；
\(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2\) 可以表示为三次多项式（\(n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6\))。
那么我们猜测 \(1^k + 2^k + ... + n^k\) 可以表示为 \(n + 1\) 次多项式。
我们进而猜测：
\(\sum_{l=1}^j{l^k}\) 为 \(k + 1\) 次多项式；----①
\(\sum_{j=1}^{i}\sum_{l=1}^j{l^k}\) 是 \(k + 2\) 次多项式；------②
\(\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=1}^{a+i* d}\sum_{l=1}^j{l^k}\) 是 \(k + 3\) 次多项式。-----③
我们还发现，①②的计算方法不是很复杂，也就是说，算出②的拉格朗日插值的表达式所需的\(k+...\) 个 \((x_i, y_i)\) 其实可以直接暴力前缀和算出。而③不行。因此我们对于③，使用拉格朗日插值依次算出其前 \(k + 4\) 个值，然后再用拉格朗日插值算出第 \(n\) 项的值。
复杂度： \(O(k^3)\)。
优化：因为 \(x_i = i\)，我们发现那个连乘式的分子和分母对于不同的 \(i\) 有大量重复，分母本质上是两个阶乘（分正负数讨论），分子可以直接预处理出前缀积和后缀积。然后拉格朗日插值优化为单次 \(O(n)\)。
CF622F The Sum of the k-th Powers
经典问题:O(klogP)求 \(\sum_{i=1}^{n}i^k\)。方法和优化同上。
P4593 [TJOI2018]教科书般的亵渎
转化后转变成求 \(\sum_{i=1}^{n}i^k\) 的问题。
注意：
一定记得对负数进行 +P！！！
