P6773 [NOI2020]命运

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可以说是两天最水的题之一了（然而我只会暴力容斥还没写st表lca只有32分，被两百多人爆踩）

直接上正解吧。

发现只有祖先子孙之间会有关系，考虑树形DP。我们从子孙向祖先看，对于一个子树，满足子树内的所有要求，当且仅当最深的那个 和（尚未被满足的）子孙有关系的祖先的下面有一个黑边，比较浅的那些可以忽略，这是子结构。

我们设 \(f(p,a)\) 表示已经决定好 \(p\) 子树内的边的情况，并且在 \(p\) 上面的深度为 \(a\) 的点以下需要一条黑边，的方案数。

加一棵子树:

\[f(cur,a) \gets f(cur,a)\sum_{y \le a}f(to,y) + f(to, a)\sum_{y<a}f(cur,y) + f(cur,a)\sum_{y \le d_{cur}}f(to,y) \]

整理一下：

\[f(cur,a) \gets f(cur,a)(S(to,a)+S(to,d_{cur})) + f(to,a)S(cur,a-1) \]

其实是对DP数组的批量操作，直接线段树合并即可。方法同 Minimax，只不过多了一个判 x && y && L == R 的情况，按照方程计算即可。

关键代码：

int merge(int L, int R, ll &xs, ll &ys, int x, int y) {
	if (!x && !y)	return 0;
	if (!x) {
		ADD(xs, sum[y]);
		pushtag(y, ys);
		return y;
	}
	if (!y) {
		ADD(ys, sum[x]);
		pushtag(x, xs);
		return x;
	}
	if (L == R) {
		ADD(xs, sum[y]);
		ll tmp = sum[x];
		sum[x] = (xs * sum[x] + ys * sum[y]) % P;
		ADD(ys, tmp);
		return x;
	}
	pushdown(x), pushdown(y);
	int mid = (L + R) >> 1;
	ls[x] = merge(L, mid, xs, ys, ls[x], ls[y]);
	rs[x] = merge(mid + 1, R, xs, ys, rs[x], rs[y]);
	sum[x] = (sum[ls[x]] + sum[rs[x]]) % P;
	return x;
}
void dfs_merge(int cur, int faa) {
	add(0, n, lnk[cur], rt[cur]);
	for (register int i = head[cur]; i; i = e[i].nxt) {
		int to = e[i].to; if (to == faa)	continue;
		dfs_merge(to, cur);
		ll xs = query(0, n, 0, dep[cur], rt[to]), ys = 0;
		rt[cur] = merge(0, n, xs, ys, rt[cur], rt[to]);
	}
	if (dep[cur] != n) push0(0, n, dep[cur] + 1, rt[cur]);
}
int main() {
	read(n);
    ...
	read(m);
	for (register int i = 1; i <= m; ++i) {
		int u,v; read(u), read(v);
		MAX(lnk[v], dep[u]);
	}
	dfs_merge(1, 0);
	printf("%lld\n", (query(0, n, 0, 0, rt[1]) % P + P) % P);
	return 0;
}