CF438E The Child and Binary Tree
一直以为要求点数为 n 导致不会做
首先我们定义 \(G\) 表示对于一个点的树关于权值的 OGF。即 \(G_i\) 表示集合里存在不存在权值 \(i\)。定义 \(F\) 表示一棵无标号二叉树关于权值的 OGF，即 \(F_i\) 表示权值为 \(i\) 的二叉树的数量。
显然有：（空树的权值为0）
\[F_0=1
\]
\[F_n = \sum_{i+j+k=n}F_iG_jF_k,n\ge1
\]
然后可以分治FFT了
进一步转化为：
\[F=F^2G+1
\]
其中加一是因为如果不加会违背 \(F_0=1\)。
然后就可以解二元一次方程了。
\[F^2G-F+1=0
\]
\[F=\frac{1 \pm \sqrt{1-4G}}{2G}
\]
然后发现 G 没有逆元，并且加减不定，不会做。那么我们换一种方法：配方法
\[(FG-1/2)^2=1/4 - G
\]
\[(FG-1/2)= \pm \sqrt{1/4-G}
\]
发现到现在各方面都是合法的。不过还是加减不定。不过显然 \(G_0=0\)，等号左边的常数项为 \(-1/2\)，那么我们必定要求右边的常数项也是负数，因此是减不是加。即：
\[FG-1/2=-\sqrt{1/4-G}
\]
移项：
\[FG=\frac{1-\sqrt{1-4G}}{2}
\]
发现 \(G\) 还是移不过去，怎么办？
神仙告诉我们，需要分母无理化：
\[FG=\frac{4G}{2(1+\sqrt{1-4G})}
\]
上面单拎出来个 \(G\)，然后就爽了：
\[(F-\frac{2}{1+\sqrt{1-4G}})G=0
\]
\(G\) 必定不为0（尽管常数项是0），那么肯定是左边那项为0.即：
\[F=\frac{2}{1+\sqrt{1-4G}}
\]
然后直接求即可。需要多项式开根，多项式求逆。
