P4515 [COCI2009-2010#6] XOR
一看范围那么小，就知道是状压暴力容斥。题目可以转化为，求 \(t\) 个三角形的交的面积，乘一个系数 \(k_t\) 作为贡献。
首先第一步，求交的面积。由于三角形都是相同方向的，直角边平行坐标轴的等腰直角三角形，我们有除了计算几何以外更方便的方法。
考虑到如果有交，那么交一定也是一个三角形。这个三角形的左下角顶点坐标很好求，是 \((\max(x_i),\max(y_i))\)。那么就差求边长或者斜边了。显然，斜边一定是最靠“左下”的那根直线，即 \(x + y\) 最小的那根直线，这个其实就是直线 \(x+y=\min(x_i+y_i+r_i)\)。这样，左下角顶点和斜边方程找到以后，面积也就好求很多了。\(S=\dfrac{(\min(x_i+y_i+r_i)-\max(x_i)-\max(y_i))^2}{2}\)。另外，如果没有交，需要特判一下。
然后第二步，求容斥系数。我们需要系数 \(k_i\)，满足 \(t\) 个三角形的交被算了恰好 \([2 \nmid t]\) 次。即
\[\sum_{i=0}^t{t \choose i}k_i=[2 \nmid t]
\]
看起来好像二项式反演的式子。我们设 \(g_t=[2 \nmid t]\)，那么：
\[g_t=\sum_{i=0}^t {t \choose i}k_i
\]
\[k_t=\sum_{i=0}^t {t \choose i} (-1)^{t-i}g_i
\]
\(i\) 为偶数的时候没有贡献，那么:
\[k_t=(-1)^{t-1}\sum_{i=0}^t {t \choose i}[2 \nmid i]
\]
二项式定理：
\[k_t=(-1)^{t-1}\frac{(1+1)^t-(1-1)^t}{2}=(-2)^{t-1}
\]
最后直接暴力\(2^n\)容斥即可。
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <algorithm>
typedef long long ll;
template <typename T> inline void read(T &x) {
x = 0; char c = getchar(); bool flag = false;
while (!isdigit(c)) { if (c == '-') flag = true; c = getchar(); }
while (isdigit(c)) { x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48); c = getchar(); }
if (flag) x = -x;
}
using namespace std;
const int inf = 987654321;
inline void MIN(int &a, int b) {
if (b < a) a = b;
}
inline void MAX(int &a, int b) {
if (b > a) a = b;
}
int n;
int X[12], Y[12], R[12];
int mi[12];
ll ans;
inline ll Pow(int x) {
return 1ll * x * x;
}
inline void work(int s) {
int mn = inf, mxx = -inf, mxy = -inf, ct = 0;
for (register int i = 0; i < n; ++i) if ((s >> i) & 1) {
MIN(mn, X[i] + Y[i] + R[i]);
MAX(mxx, X[i]);
MAX(mxy, Y[i]);
++ct;
}
ans += 1ll * mi[ct - 1] * Pow(max(0, mn - mxx - mxy));
}
int main() {
read(n);
for (register int i = 0; i < n; ++i) read(X[i]), read(Y[i]), read(R[i]);
mi[0] = 1;
for (register int i = 1; i <= n; ++i) mi[i] = -2 * mi[i - 1];
int All = (1 << n) - 1;
for (register int s = 1; s <= All; ++s) {
work(s);
}
printf("%.1lf\n", 0.5 * ans);
return 0;
}
