支配树

支配树能够解决有向图必经点的问题。

定义，定理与约定

默认有一个“源点” \(s\) 作为出发点。
默认所有节点编号与其 \(dfs\) 序相同。
定义 \(u\) “支配” \(v\) 表示如果想要经过 \(v\)，那么必须要经过 \(u\)。此时称 \(u\) 是 \(v\) 的“支配点”。
由支配关系所组成的树成为支配树。
众多定理...（待补）

DAG 的支配树的构造

外向树的支配树显然是其本身。

我们可以从 DAG 的源点开始，按照拓扑序遍历。当访问到一个点的时候，其最近支配点一定是其所有入边端点的支配树的 LCA（想走到 \(u\)，必须先走其入边端点）。

据此可以构建 DAG 的支配树。

关键代码：

inline void tuopu() {
	que[++rear] = s;
	while (front < rear) {
		int cur = que[++front];
		int lca = 0;//Attention!!
		for (register unsigned int i = 0; i < iV[cur].size(); ++i) {
			int to = iV[cur][i];
			if (!lca)	lca = to;
			else	lca = get_lca(lca, to);//Attention!! : to
		}
		f[cur][0] = lca;
		for (register int i = 1; i <= 20; ++i)
			f[cur][i] = f[f[cur][i - 1]][i - 1];
		for (register unsigned int i = 0; i < V[cur].size(); ++i) {
			int to = V[cur][i];
			--d[to];
			if (!d[to])	que[++rear] = to;
		}
		dep[cur] = dep[f[cur][0]] + 1;
	}
}

普通有向图的支配树的构造

另一些定义及定理

如果有 \(u -> ... -> v\)，且除了 \(u, v\)，其余路径上的点都满足其 \(dfn\) 大于 \(dfn[v]\)，那么称 \(dfs\) 序最小的那个 \(u\) 为 \(v\) 的“半支配点”，标记为 \(u = sdom[v]\)。
\(sdom[u]\) 一定是 \(u\) 的祖先，\(sdom[1]=0\) 除外。

证明：至少 \(u\) 的 dfs 树上父亲 \(fa\) 可以当作 \(sdom[u]\)，因此子树不可能；如果 \(sdom[u]\) 在其它树上，那么至少能在树上找到一条路径 \(anc -> sdom[u] -> u\)，其中 \(anc\)（\(u\) 的祖先）会作为 \(sdom[u]\)。

保留树边，删除非树边，连接所有的 \(sdom[cur] -> cur\)，显然将形成一个 DAG，并且支配关系不变。

证明：不会

感性证明：我们站在 dfs 树为主体的角度看。显然 \(sdom[cur]\) 下面不会出现支配点，因为至少存在树上路径和 \(sdom[cur] -> cur\) 路径能够到达 \(cur\)。所以 \(sdom[cur]\) 下面的点到 \(cur\) 的非树边都可以删除。至于 \(sdom[cur]\) 的上面如果还有向 \(cur\) 的连边的话，那么为什么 \(sdom[cur]\) 不是那个祖先呢？

构造方法

需要构造出所有点的半支配点，然后删除原图边，半支配点向该点连边，转化为 DAG 上的问题。

如何构造半支配点？我们按编号从大到小枚举，对于每个点寻找反向边。首先如果对于当前节点 \(v\)，存在一个 \(u -> v\)，且 \(u < v\)，那么可以直接用 \(u\) 来更新 \(sdom[v]\)；如果 \(u -> v\)，并且 \(u > v\)，那么 \(u\) 在之前一定已经遍历过了，那么根据定义我们沿着 \(u\) 到源点的链中已经遍历过的部分向上走，用路径上的 \(sdom\) 依次更新 \(sdom[v]\)。这个过程可以用边带权并查集优化。

关键代码：

int sdom[N];
int fa[N], mn[N];
int find(int cur) {
	if (fa[cur] == cur)	return cur;//Attention!!!!!!!!!!!
	int faa = fa[cur];
	int anc = find(fa[cur]);
	MIN(mn[cur], mn[faa]);//Attnetion!!!!!
	fa[cur] = anc;
	return anc;
}
inline void get_sdom() {
	for (register int i = 1; i <= n; ++i)	fa[i] = mn[i] = sdom[i] = i;
	for (register int i = n; i > 1; --i) {
		int res = n;
		for (register unsigned int j = 0; j < iV[i].size(); ++j) {
			int to = iV[i][j];
			if (to < i)	MIN(res, to);
			else	find(to), MIN(res, mn[to]);//Attention!!!!
		}
		sdom[i] = res; fa[i] = dfa[i];
		MIN(mn[i], res);
	}
	sdom[1] = 0;
}

然后再建出 DAG 跑支配树即可。

模板

//P5180
int dfn[N], dcnt, mp[N], s;
int dfa[N];
void dfs_init(int cur) {
	dfn[cur] = ++dcnt;
	mp[dcnt] = cur;
	for (register int i = head[cur]; i; i = e[i].nxt) {
		int to = e[i].to;
		if (!dfn[to])	dfs_init(to), dfa[dfn[to]] = dfn[cur];
	}
}

int sdom[N];
int fa[N], mn[N];
int find(int cur) {
	if (fa[cur] == cur)	return cur;//Attention!!!!!!!!!!!
	int faa = fa[cur];
	int anc = find(fa[cur]);
	MIN(mn[cur], mn[faa]);//Attnetion!!!!!
	fa[cur] = anc;
	return anc;
}
inline void get_sdom() {
	for (register int i = 1; i <= n; ++i)	fa[i] = mn[i] = sdom[i] = i;
	for (register int i = n; i > 1; --i) {
		int res = n;
		for (register unsigned int j = 0; j < iV[i].size(); ++j) {
			int to = iV[i][j];
			if (!dfn[to])	continue;
			if (to < i)	MIN(res, to);
			else	find(to), MIN(res, mn[to]);//Attention!!!!
		}
		sdom[i] = res; fa[i] = dfa[i];
		MIN(mn[i], res);
	}
	sdom[1] = 0;
}

int d[N];
int que[N], front, rear;
int f[N][21], dep[N];
inline int get_lca(int u, int v) {
	if (dep[u] < dep[v])	swap(u, v);
	for (register int i = 20; ~i; --i)
		if (dep[f[u][i]] >= dep[v])	u = f[u][i];
	if (u == v)	return u;
	for (register int i = 20; ~i; --i)
		if (f[u][i] != f[v][i])	u = f[u][i], v = f[v][i];
	return f[u][0];
}
inline void tuopu() {
	que[++rear] = s;
	dep[0] = -1;
	while (front < rear) {
		int cur = que[++front], lca = 0;
		for (register unsigned int i = 0; i < iV[cur].size(); ++i) {
			int to = iV[cur][i];
			if (!lca)	lca = to;
			else	lca = get_lca(lca, to);
		}
		f[cur][0] = lca; dep[cur] = dep[lca] + 1;//Attention!!!!!
		for (register int i = 1; i <= 20; ++i)
			f[cur][i] = f[f[cur][i - 1]][i - 1];
		for (register int i = head[cur]; i; i = e[i].nxt) {
			int to = e[i].to;
			--d[to];
			if (!d[to])	que[++rear] = to;
		}
	}
}

int siz[N];
void dfs_siz(int cur) {
	siz[cur] = 1;
	for (register int i= head[cur]; i; i = e[i].nxt) {
		int to = e[i].to;
		dfs_siz(to);
		siz[cur] += siz[to];
	}
}

inline void work() {
	memset(head, 0, sizeof(head));
	ecnt = 0;
	for (register int i = 2; i <= n; ++i)	addedge(f[i][0], i);
	dfs_siz(s);
}

int ans[N];
int main() {
	read(n), read(m);
	for (register int i = 1; i <= m; ++i) {
		int u, v; read(u), read(v);
		addedge(u, v);
	}
	dfs_init(1); s = dfn[1];
	
	for (register int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (register int j = head[i]; j; j = e[j].nxt) {
			int to = e[j].to;
			aded(dfn[to], dfn[i]);
		}
	}
	memset(head, 0, sizeof(head));
	ecnt = 0;
	for (register int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (register unsigned int j = 0; j < iV[i].size(); ++j) {
			int to = iV[i][j];
			addedge(to, i);
		}
	}
	
	get_sdom();
	
	memset(head, 0, sizeof(head));
	ecnt = 0;
	for (register int i = 1; i <= n; ++i)
		iV[i].clear();
	for (register int i = 2; i <= n; ++i)
		addedge(sdom[i], i), ++d[i], aded(i, sdom[i]),
		addedge(dfa[i], i), ++d[i], aded(i, dfa[i]);//Attention!!!!!!
	tuopu();
	work();
	for (register int i = 1; i <= n; ++i)
	 ans[mp[i]] = siz[i];
	for (register int i = 1; i <= n; ++i)
		printf("%d ", ans[i]);//Attention!!!!!!!!!!!!!!
	puts("");
	return 0;
}

记忆方法

~~菜菜的我只好死记硬背~~

DAG 很好理解，就直接把所有前驱（入边）的 LCA 求一求即可。

有向图需要背过的是：

一个点的半支配点的定义：如果 sdom[v]=u，那么存在一条 \(u\) 到 \(v\) 的路径，路径上其余点的 dfn 都比 \(v\) 大。如果有多个这样的 \(u\)，取 dfn 最小的那个。
结论：仅保留 dfs 树边和 \(sdom_x \to x\) 的边的图为 DAG，且这个 DAG 的支配树就是这张有向图的支配树
构造方法：按照 dfn 从大到小枚举点，枚举这个点的前驱（入边）。如果前驱 dfn 比它小，直接更新；否则用前驱的所有祖先（枚举顺序可以保证链上点 dfn 大于这个点的 dfn）的 sdom 来更新这个点的 sdom。需要支持动态加边，查链上最值，需要用边带权并查集。

posted @ 2020-08-05 09:08 JiaZP 阅读(182) 评论(0) 编辑收藏举报

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