P1721 [NOI2016]国王饮水记
一种不那么常见的斜率优化形式。
首先贪心部分就不多说了，慢慢证就好。
然后直接上 DP 式子：
设 \(f_{i, j}\) 表示目前使用了 \(i\) 次，考虑到了第 \(j\) 个水池，1 号池的最高水位。
\[f_{i,j}= max(\frac{f_{i-1,k}+sum(k+1...j)}{j-k+1})
\]
然后运用高中数学知识，这个东西等价于点 \((j+1,S_j)\) 和点 \((k, S_k - f_{i-1,k})\) 形成的直线的斜率，我们的目的是，从一个点集中找出一个点，使得其与定点 \((j+1,s_j)\) 斜率最大。这个点显然是点集的凸包上的点。并且对于这道题来说，插入的点横坐标单调递增，决策点也单调递增，因此用单调队列维护凸包即可。
复杂度 \(O(n^2)\)，我也不知道为什么一堆 double 运算的斜率优化 \(O(n^2)\) 跑 \(8000\) 的数据能跑这么快。
借助附件给的高精度板子，我成功的打破了 substring 的 \(15.15KB\) 的代码长度。
