多项式的高级运算

分治FFT

~~（其实我觉得对于我这个几乎只写NTT的人来说，叫分治NTT比较好）~~

简单说一下，分治FFT用到了CDQ分治的思想，但不用非得学CDQ分治，毕竟这个思想还是比较好理解的，之前也经常用到。简而言之，这里的CDQ分治思想就是：每次只考虑左半段对右半段的贡献，先递归解决左半段，然后让右半段加上左半段的贡献，再递归解决右半段。这样，一次次贡献的加和就组成了每个位置的值。

将题意稍稍转化，f[i] = g[0 ~ i]与f[0 ~ i]的卷积（多项式乘法）。然后我们可以手玩，发现 \(i\) 的贡献可以拆成多个“线段树”上节点的贡献。

注意\(g\) 的取值是从 \(0\) 开始的。

注意，分治 FFT 要求必须有一个多项式是已知的（比如模板中的 \(g\)）

至于到底是项数还是度数，其实多取值一两个应该是问题不大的，就都认为是项数吧。

最关键的几条语句：

  int len = R - L + 1;//项数
  for (register int i = 0; i < len; ++i)  A[i] = g[i];
  for (register int j = 0; j <= mid - L; ++j) B[j] = f[L + j]; 
  len += (mid - L + 1);

\(Code:\) my code

（主要篇幅是NTT，其实重点就在于以上两条语句，NTT只是工具）

注意：必须对要求的函数（这里是 \(f\)）进行 CDQ 分治，即将 \(f_i\) 的贡献拆为若干段 \(f_j\) 的贡献。否则 \(B\) 那部分可能还没有求出来。

拓展：两个函数相互卷

形如 \(f = \sum f \cdot g + ...\)，\(g =\sum f \cdot g + ...\)，一种方法是列生成函数暴力解，局限性较大（可能不好解）。一种方法是一块做，分别 CDQ。按 \(L\) 分类，\(L=0\) 的时候算 \(0...mid\) 的 \(f,g\) 卷的贡献，当 \(L > 0\) 的时候 \(f(L...mid) \times g(0...len)\) 和 \(g(L...mid) \times f(0...len)\) 都要算，因为都还没算过贡献呢。

例题：普通的计数题

//f=g*h,g=f*g
void sol(int L, int R) {
	if (L == R) ... 
	sol(L, mid);

	for (int i = L; i <= mid; ++i) A[i - L] = g[i];
	for (int i = 1; i <= len; ++i) B[i - 1] = h[i];
	...(->f)

	if (L == 0) {
		for (int i = 0; i <= mid; ++i) A[i] = f[i];
		for (int i = 1; i <= mid; ++i) B[i - 1] = g[i];
		...(->g)
	} else {
		for (int i = L; i <= mid; ++i) A[i - L] = f[i];
		for (int i = 1; i <= len; ++i) B[i - 1] = g[i];
		...(->g)

		for (int i = L; i <= mid; ++i) A[i - L] = g[i];
		for (int i = 1; i <= len; ++i) B[i - 1] = f[i];
		...(->g)
	}

	sol(mid + 1, R);
}

任意模数NTT（MTT）

有的时候质数不能表示为 \(a * 2^k + 1\) 的形式，无法进行NTT。如果质数比较小（比如 \(10^4\) 左右），就可以直接用 FFT 搞过去；但是如果质数到达 \(10^9\) 左右，就需要一些技巧了。

我们可以把所有系数化为 \(ax+b\) 的形式，其中 \(x\) 为我们指定的一个数（通常是 \(2^{15}\)），这样的话 \(a, b\) 就都不超过 \(2^{15}\) 了，可以暴力求解。答案为 \(aa'x ^2+ (ab'+ba')x + bb'\)，根据需要进行乘法即可。

一种减小常数的方法是：我们设复多项式 \(P = (a, a'),Q=(b,b'),R=(a,-a')\)，然后设 \(F=PQ=(ab-a'b',ab'+a'b),F'=RQ=(ab+a'b',ab'-a'b)\)，再加加减减：\(F+F'=(2ab,2ab'),F-F'=(-2a'b',2a'b)\)，这样，我们需要的东西就都有了，并且只用做 5 次FFT。

关键代码：

	for (register int i = 0; i <= n; ++i) {
		int a; read(a);
		P[i].x = a >> 15;
		P[i].y = a & mask;
		R[i].x = P[i].x, R[i].y = -P[i].y;
	}
	for (register int i = 0; i <= m; ++i) {
		int a; read(a);
		Q[i].x = a >> 15;
		Q[i].y = a & mask;
	}
    
	fft(P, 1), fft(Q, 1), fft(R, 1);
	for (register int i = 0; i < limi; ++i) {
		Q[i].x /= limi, Q[i].y /= limi;//提前除以 limi，fft就不用除了
		P[i] = P[i] * Q[i], R[i] = R[i] * Q[i];
	}
	fft(P, -1), fft(R, -1);
	for (register int i = 0; i <= n + m; ++i) {
		ll a1b1 = (ll)((P[i].x + R[i].x) / 2.0 + 0.5);
		ll a1b2 = (ll)((P[i].y + R[i].y) / 2.0 + 0.5);
		ll a2b1 = (ll)((P[i].y - R[i].y) / 2.0 + 0.5);
		ll a2b2 = (ll)((R[i].x - P[i].x) / 2.0 + 0.5);
		ll ans = a1b1 % Mod * ((1ll << 30) % Mod) % Mod;
		ans += (a2b1 + a1b2) % Mod * ((1ll << 15) % Mod) % Mod;
		ans += a2b2 % Mod;
		ans = (ans % Mod + Mod) % Mod;
		printf("%lld ", ans);
	}
	puts("");

下降幂多项式乘法

下降幂多项式：

\[F(x) = \sum_{i} a_i x^{\underline{i}} \]

其中下降幂多项式的系数的 OGF（没有特殊说明均为普通的多项式）和下降幂多项式的点值的 EGF 可以较为轻松地互相转化。设 \(f_i = \sum_{j} a_j i^{\underline{j}}\)，则：

\[\begin{aligned} F(x) &= \sum_{i} \frac{f_i}{i!} x^i\\ &= \sum_i \frac{x^i}{i!} \sum_j a_j i^{\underline{j}}\\ &= \sum_i x^i \sum_j a_j \frac{1}{(i-j)!}\\ &= \sum_j a_j \sum_i \frac{x^i}{(i-j)!}\\ &= \sum_j a_jx^j \sum_i \frac{x^i}{i!}\\ &= A(x) * e^x \end{aligned} \]

于是将系数多项式卷一个 \(e^x\) 即可得到点值 EGF，将点值 EGF 卷一个 \(e^{-x}\) 即可得到系数多项式。

其中 \(e^{-x} = \sum_i \frac{(-1)^i}{i!} x^i\)。

而点值是可以 \(O(n)\) 进行乘法的，于是可以把下降幂多项式转为点值多项式相乘（记得消掉多余的 \(\frac{1}{i!}\) ）后在转化回来。复杂度是 \(O(n \log n)\)。

//C = A * B
for (int i = 0; i < n + m; ++i)
	E[i] = jieni[i], E_[i] = (i & 1 ? P - 1 : 1) * jieni[i] % P;
Mul(A, E, Af, n + m);
Mul(B, E, Bf, n + m);
for (int i = 0; i < n + m; ++i)	Af[i] = Af[i] * Bf[i] % P * jie[i] % P;//bug
Mul(Af, E_, C, n + m);

下面开始正式的多项式工业

多项式求乘法逆元

【模板】多项式乘法逆

牛顿迭代法：

\[AB=1 \]

\[AB - 1 = 0 \]

\[B' = B - \frac{AB-1}{A} \]

\[=B-B(AB-1) \]

\[=B(2-AB) \]

\(Code：\)

int n;
ll A[N], B[N], C[N], r[N];
ll limi, l;
inline ll quickpow(ll x, ll k)...
inline void ntt(ll *a, int type) {...//此处已经让type = 1的乘inv了
void sol(int deg, ll *a, ll *b) {//b is 逆元
	if (deg == 1) {
		b[0] = quickpow(a[0], P - 2);
		return ;
	}
	sol((deg + 1) >> 1, a, b);
	
	limi = 1, l = 0;
	while (limi <= (deg << 1))	limi <<= 1, ++l;
	for (register int i = 1; i <= limi; ++i)
		r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (l - 1));
	for (register int i = 0; i < deg; ++i)	C[i] = a[i];//转移到C防变化 
	for (register int i = deg; i < limi; ++i)	C[i] = 0;//多次清空更保险 
	ntt(b, 1); ntt(C, 1);
	for (register int i = 0; i < limi; ++i)//B = 2B' - AB'B' = B'(2 - AB')
		b[i] = ((2ll - b[i] * C[i]) % P + P) % P * b[i] % P;
	ntt(b, -1);
	for (register int i = deg; i <= limi; ++i)//多次清空更保险 
		b[i] = 0;
}
int main() {
	read(n);
	for (register int i = 0; i < n; ++i)	read(A[i]);
	sol(n, A, B);
	for (register int i = 0; i < n; ++i)
		printf("%lld ", B[i]);
	return 0;
}

这里给一个简化的板子，供复习：

7.28 Update : 拿了个更简化的倍增版本

inline void get_inv(ll *a, ll *b, int d) {//d : 项数 
	b[0] = quickpow(a[0], P - 2);
	L = 0; 
	for (register int len = 1; len < (d << 1); len <<= 1) {//一定求完长度为 len/2 的 b 数组，想求长度为 len 的 b 数组
		limi = len << 1, ++L;
		for (register int i = 1; i < limi; ++i)
			r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));
		
		for (register int i = 0; i < len; ++i)	C[i] = a[i], D[i] = b[i];
		ntt(C, 1), ntt(D, 1);
		for (register int i = 0; i < limi; ++i)
			b[i] = D[i] * (2 - C[i] * D[i] % P) % P, C[i] = D[i] = 0;
		ntt(b, -1);
		
		for (register int i = len; i < limi; ++i)	b[i] = 0;
	}
}

多项式开根号

P5205 【模板】多项式开根

题意

给A(x)，其中a0 = 1，求B(x)，使得B(x)^2 = A(x) (mod x^n)

思路简析

与多项式求逆相同，由于一平方就mod x^m -> mod x^(2m)，我们考虑递归求解。

表达式

同样假设我们已经求出B(x)的一半b(x)，那么：

A * b = 1(mod x^m)
A * B = 1(mod x^m)
∴B - b = 0（mod x^m)
两边平方:
B^2 - 2 * B * b + b^2 = 0(mod x^(2*m))
据B^2 = A(mod x^(2*m))：
A - 2 * B * b + b^2 = 0(mod x^(2*m))
于是：
B = (A/b + b) / 2

配合多项式求逆解出B(x)。

（7.28 Update:）

这里给一个更方便，无需更多的聪明与技巧的方法：牛顿迭代:

\[\sqrt{A(x)}=B(x) \]

\[A(x)=B^2(x) \]

\[F(B(x)) = B^2(x)-A(x)=0 \]

\[B_{2n}=B_n-\frac{B^2-A}{2B} \]

\[=\frac{B^2 + A}{2B} \]

\[=1/2 * (B + \frac{A}{B}) \]

我们可以一遍 NTT 算出 \(A, B, \frac{1}{B}\) 的点值表示，然后在运算并 NTT 搞回去，但是这需要 NTT 三次，因为第一个 \(B\) 与分式是加法关系，直接系数相加即可，这样就只用 NTT 两次。

递归边界

模板题非常友善，告诉我们 a0 = 1，于是递归边界为

if (deg == 1) {b[0] = 1; return ;}

如果题目没有那么友善，那么~~我们或许可以多random几个数~~ 我们需要用二次剩余之类的麻烦的东西，或者考虑换一种算法。

浅谈二次剩余：

Code:

void get_sqrt(ll *a, ll *b, int deg) {
	if (deg == 1) {b[0] = 1; return ;}
	get_sqrt(a, b, (deg + 1) >> 1);
  //get_len
	limi = 1, len = 0;
	while (limi <= (deg << 1))	limi <<= 1, len++;
	for (register int i = 0; i <= limi; ++i)
		r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (len - 1));
        
  //copy and multiply
	for (register int i = 0; i <= limi; ++i)	bn[i] = 0;//attention
	get_inv(b, bn, deg);
	for (register int i = 0; i < deg; ++i)	C[i] = a[i];
	for (register int i = deg; i <= limi; ++i)	C[i] = 0;
	ntt(C, 1); ntt(bn, 1);
	for (register int i = 0; i <= limi; ++i)
		C[i] = C[i] * bn[i] % P;
	ntt(C, -1);
	for (register int i = 0; i < deg; ++i)	b[i] = (C[i] + b[i]) * inv2 % P;
	for (register int i = deg; i <= limi; ++i)	b[i] = 0;
}

(7.28 Update)

倍增版本：（附新求逆模板）（我怕两个板子之间的 \(limi\) 互相串出错，因此每个函数单独写了个 \(limi\) 和 \(L\)。NTT 的时候直接传入 \(limi\)）

inline void get_inv(ll *a, ll *b, int d) {
	b[0] = quickpow(a[0], P - 2);
	int L = 0, limi = 1;
	for (register int len = 1; len < (d << 1); len <<= 1) {
		limi = (len << 1), ++L;
		for (register int i = 1; i < limi; ++i)
			r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));
		
		for (register int i = 0; i < len; ++i)	E[i] = a[i], F[i] = b[i];
		ntt(E, 1, limi), ntt(F, 1, limi);
		for (register int i = 0; i < limi; ++i)
			b[i] = F[i] * (2 - E[i] * F[i] % P) % P, E[i] = F[i] = 0;
		ntt(b, -1, limi);
		
		for (register int i = len; i < limi; ++i)	b[i] = 0;
	}
}
inline void Sqrt(ll *a, ll *b, int d) {
	b[0] = 1;
	int limi = 1, L = 0;
	for (register int len = 1; len < (d << 1); len <<= 1) {
		get_inv(b, C, len);
		
		limi = len << 1, ++L;
		for (register int i = 1; i < limi; ++i)
			r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));
		
		for (register int i = 0; i < len; ++i)	D[i] = a[i];
		ntt(D, 1, limi); ntt(C, 1, limi);
		for (register int i = 0; i < limi; ++i)	C[i] = D[i] * C[i] % P;
		ntt(C, -1, limi);
		for (register int i = 0; i < len; ++i)
			b[i] = INV2 * (b[i] + C[i]) % P, C[i] = D[i] = 0;
		for (register int i = len; i < limi; ++i)	b[i] = 0;
	}
}

注意：

用数组前一定注意清空。我也不知道为什么，反正不清空就会出错。估计是NTT的祸吧。

多项式除法

P4512 【模板】多项式除法
\(A(x) * B(x) + C(x) = D(x)\)，给出 \(D(x), A(x)\)，求 \(B(x),C(x)\).（类似高精除）
\(m = deg(A) < 100,000, n = deg(D) <= 100,000, m <= n\)

思路简析

我们发现神奇的事情：把A,B,C,D都翻转过来，（把C加到D后面），等式仍然成立。并且还有一个好处：C转过来后D的0~n-m项都不受C的影响，而B又肯定超不过n-m+1项。因此我们可以借助反转后的A,D数组算出B数组，然后什么都好搞了。

2020.12.23 Update：

还是说点人话吧

定义翻转操作为如下操作:

\[Reverse(F(x)) = F^R(x) = F(\frac{1}{x}) \times x^n \]

其中 \(n\) 为 \(f(x)\) 的次数。显然次操作可以 \(O(n)\) 做完。

现在回到题目:

\[A(x) \cdot B(x)+C(x)=D(x) \]

他们的项数（本题中）为：\(m\) 项，\(n-m+1\) 项，\(m-1\) 项，\(n\) 项。（此处的 \(n,m\) 为原题面的 \(n+1,m+1\)）于是，现在尝试对它们进行翻转，应该有如下等式：

\[\begin{aligned} A(x) \cdot B(x) + C(x) &= D(x)\\ A(1/x) \cdot B(1/x) + C(1/x) &= D(1/x)\\ \frac{A^R(x)}{x^{m-1}} \cdot \frac{B^R(x)}{x^{n-m}} + \frac{C^R(x)}{x^{m-2}} &= \frac{D^R(x)}{x^{n-1}}\\ A^R(x) \cdot B^R(x) + C^R(x) \cdot x^{n-m+1} &=D^R(x)\\ A^R(x) \cdot B^R(x) &= D^R(x) \pmod {x^{n-m+1}} \end{aligned} \]

而我们恰好要的是 \(B^R\) 的前 \(n-m+1\) 项。于是直接在 \(\bmod x^{n-m+1}\) 的意义下多项式求逆整出 \(B^R(x)\)，然后据此推出答案即可。

（注意区分好以上文字中的“项数”和“次数”）

Code:

int main() {
	read(n); read(m); n++; m++;//n,m变成项数
	for (register int i = 0; i < n; ++i)	read(D[i]), Dbp[i] = D[i];
	for (register int i = 0; i < m; ++i)	read(A[i]), Abp[i] = A[i];//backup
	Reverse(A, m);
	Reverse(D, n);
	for (register int i = n - m + 1; i < n; ++i)
		A[i] = D[i] = 0;
	get_inv(A, An, n - m + 1);
	mul(D, An, B, n - m + 1, n - m + 1);
    //D(n-m+1项) * An(n-m+1项) -> B
	Reverse(B, n - m + 1);
	mul(Abp, B, AB, m, n - m + 1);
	for (register int i = 0; i < m - 1; ++i)
		C[i] = (Dbp[i] - AB[i] + P) % P;
    ...
}

注意

在算D*inv(A)时，保险起见，只保留D和A的0~n-m项，且对A,D做备份，算C时用。
什么时候用n-m，什么时候用n-m+1，要分清楚！
此时多项式变量名逐渐增多，注意区分，不要把An写成A!

多项式求ln

P4725 【模板】多项式对数函数（多项式 ln）

在学习微积分后，我再学ln，感觉舒适了很多。

求ln很简单，两边求个导，用一下多项式求逆，再积分即可。

7.28 Update:

给一下推导：

\[ln(A(x))=B(x) \]

\[\frac{A'(x)}{A(x)} = B(x) \]

\[B(x) = \int\frac{A'(x)}{A(x)} \]

~~思维难度低，代码量大。~~

好想好写，算是比较小清新的板子了。

（更新封装风格的代码）

inline void dao(ll *a, ll *b, int d) {
	for (register int i = 0; i < d; ++i)	b[i] = a[i + 1] * (i + 1) % P;
}
inline void ji(ll *a, ll *b, int d) {//利用线性推逆元，积分可以做到 O(n)
	for (register int i = 1; i < d; ++i)//注意：如果想把b和a写成一个数组的话，要注意转移顺序
		b[i] = a[i - 1] * quickpow(i, P - 2) % P;
}
inline void get_ln(ll *a, ll *b, int d) {
	get_inv(a, C, d);
	dao(a, D, d);
	int limi = 1, L = 0;
	while (limi < (d << 1))	limi <<= 1, ++L;
	for (register int i = 1; i < limi; ++i)
		r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));
	ntt(C, 1, limi), ntt(D, 1, limi);
	for (register int i = 0; i < limi; ++i)	C[i] = C[i] * D[i] % P;
	ntt(C, -1, limi);
	for (register int i = d; i < limi; ++i)	C[i] = 0;
	ji(C, b, d);
}

多项式求exp

继续牛顿迭代：

\[e^{A(x)} = B(x) \]

\[A(x) = ln(B(x)) \]

\[A(x) - ln(B(x)) = 0 \]

\[B_{2n}(x) = B_n(x) - \frac{A(x) - ln(B(x))}{-\frac{1}{B(x)}} \]

\[B_{2n} = B(x)(1 - ln(B(x)) + A(x)) \]

然后就终极套娃即可。

\(1 - ln(B(x)) + A(x)\) 可以用系数表示法直接运算，但是记住这是系数表示法，不是点值表示，不是每一项都 + 1，而是只有常数项 +1

多项式快速幂

自然可以倍增快速幂，不过那是 \(n~logn~logk\) 的。既然多项式可以快速取 \(ln,exp\)，我们可以利用这一点来做到 \(n~logn\)

\[A^k(x) = B(x) \]

\[klnA(x)=lnB(x) \]

\[B(x) = e^{klnA(x)} \]

套 ln 和 exp 即可。

下面给一个快速幂 + exp + ln + 求逆求导积分的代码，这份代码实现的是求：

\[(e^x + 1)^n \]

的系数。注意到常数项不一定是 \(1\)，可以把常数项提出来最后乘，剩下的部分常数项就是一了。

（之前代码可能会出现爆掉四倍数组的情况，这份代码应该是没问题的）

namespace jzpac {
	const int G = 3;
	const int Gi = (P + 1) / G;
	int r[N], lst;
	inline void ntt(ll *a, int limi, int type) {
		if (lst != limi) {
			lst = limi;
			for (int i = 0; i < limi; ++i)
				r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) ? (limi >> 1) : 0);
		}
		for (int i = 0; i < limi; ++i)
			if (i < r[i]) swap(a[i], a[r[i]]);
		for (int i = 1; i < limi; i <<= 1) {
			ll T = quickpow(type == 1 ? G : Gi, (P - 1) / (i << 1));
			for (int j = 0; j < limi; j += (i << 1)) {
				ll t = 1;
				for (int k = 0; k < i; ++k, t = t * T % P) {
					ll nx = a[j + k], ny = a[i + j + k] * t % P;
					a[j + k] = Mod(nx + ny);
					a[i + j + k] = Mod(nx - ny + P);
				}
			}
		}
		if (type == -1) {
			const ll inv = quickpow(limi, P - 2);
			for (int i = 0; i < limi; ++i) a[i] = a[i] * inv % P;
		}
	}
	ll inv_A[N], inv_B[N];
	inline void get_inv(ll *a, ll *b, int d) {
		b[0] = quickpow(a[0], P - 2);
		for (int len = 1; (len >> 1) < d; len <<= 1) {
			int limi = len << 1;
			for (int i = 0; i < len; ++i) inv_A[i] = a[i], inv_B[i] = b[i];
			ntt(inv_A, limi, 1), ntt(inv_B, limi, 1);
			for (int i = 0; i < limi; ++i) inv_A[i] = inv_B[i] * (2ll - inv_A[i] * inv_B[i] % P + P) % P;
			ntt(inv_A, limi, -1);
			for (int i = 0; i < len; ++i) b[i] = inv_A[i];
			for (int i = 0; i < limi; ++i) inv_A[i] = inv_B[i] = 0;
		}
	}
	inline void get_dao(ll *a, int d) {
		a[d] = 0;
		for (int i = 0; i < d; ++i) a[i] = a[i + 1] * (i + 1) % P;
	}
	inline ll Inv(ll x) { return jie[x - 1] * jieni[x] % P; }
	inline void get_ji(ll *a, int d) {
		for (int i = d - 1; ~i; --i) a[i + 1] = a[i] * Inv(i + 1) % P;
		a[0] = 0;
	}
	ll ln_A[N], ln_B[N];
	inline void get_ln(ll *a, ll *b, int d) {//a[0] = 1
		for (int i = 0; i < d; ++i) ln_A[i] = a[i];
		get_inv(ln_A, ln_B, d);//bug
		get_dao(ln_A, d);
		int limi = 1; while (limi < d + d) limi <<= 1;
		ntt(ln_A, limi, 1), ntt(ln_B, limi, 1);
		for (int i = 0; i < limi; ++i) ln_A[i] = ln_A[i] * ln_B[i] % P;
		ntt(ln_A, limi, -1);
		get_ji(ln_A, d);
		for (int i = 0; i < d; ++i) b[i] = ln_A[i];
		for (int i = 0; i < limi; ++i) ln_A[i] = ln_B[i] = 0;
	}
	ll exp_A[N], exp_B[N];
	inline void get_exp(ll *a, ll *b, int d) {//a[0] = 0
		b[0] = 1;
		for (int len = 1; (len >> 1) < d; len <<= 1) {
			int limi = len << 1;
			for (int i = 0; i < len; ++i) exp_A[i] = b[i];
			get_ln(exp_A, exp_B, len);
			exp_A[0] = (a[0] + 1 - exp_B[0] + P) % P;
			for (int i = 1; i < len; ++i) exp_A[i] = (a[i] - exp_B[i] + P) % P;//bug
			for (int i = 0; i < len; ++i) exp_B[i] = b[i];
			ntt(exp_A, limi, 1), ntt(exp_B, limi, 1);
			for (int i = 0; i < limi; ++i) exp_A[i] = exp_A[i] * exp_B[i] % P;
			ntt(exp_A, limi, -1);
			for (int i = 0; i < len; ++i) b[i] = exp_A[i];//bug!
			for (int i = 0; i < limi; ++i) inv_A[i] = inv_B[i] = 0;
		}
	}
	ll f[N], g[N];
	inline void sol() {
		for (int i = 0; i < m; ++i) f[i] = jieni[i];
		++f[0];
		for (int i = 0; i < m; ++i) f[i] = f[i] * inv2 % P;
		get_ln(f, g, m);
		for (int i = 0; i < m; ++i) g[i] = g[i] * n % P;
		memset(f, 0, sizeof(f));
		get_exp(g, f, m);
		ll mi = quickpow(2, n);
		for (int i = 0; i < m; ++i) f[i] = f[i] * mi % P;
	}
}

暴力多项式算法

没有 FFT 的多项式工业。

通常是对某个关系式观察第 \(m\) 项得到递推式子。

求逆

\[\begin{aligned} A^{-1} = B\\ AB = 1 \end{aligned} \]

直接展开第 \(m\) 项：

\[\sum_{i=0}^m a_ib_{m-i} = [m=0]\\ a_0b_m + \sum_{i=0}^{m-1}a_ib_{m-i} = [m=0]\sum_{i=0}^m a_ib_{m-i} = [m=0]\\ a_0b_m + \sum_{i=0}^{m-1}a_ib_{m-i} = [m=0] \]

得到递推式。

\(O(n^2)\)

ln/exp

\[\ln A = B\\ \frac{A'}{A} = B'\\ A' = B'A\ln A = B\\ \frac{A'}{A} = B'\\ A' = B'A \]

观察第 \(m\) 项：

\[(m+1)a_{m+1} = \sum_{i=0}^m (i+1)b_{i+1}a_{m-i} \]

\(O(n^2)\)

快速幂

\[A^k = B\\ k\ln A = \ln B\\ k\frac{A'}{A} = \frac{B'}{B}\\ kA'B = B'A \]

观察第 \(m\) 项：

\[k\sum_{i=0}^m b_ia'_{m-i} = \sum_{i=0}^m b'_ia_{m-i}\\ k\sum_{i=0}^m b_i a'_{m-i} = \sum_{i=0}^m (i+1)b_{i+1}a_{m-i} \]

\(O(n^2)\)

当 \(B\) 的项数为 \(k\)，结果模 \(x^m\) 的时候，复杂度可以做到 \(O(km)\)。

posted @ 2020-07-27 11:43 JiaZP 阅读(382) 评论(0) 编辑收藏举报

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JiaZP

多项式的高级运算

分治FFT

拓展：两个函数相互卷

任意模数NTT（MTT）

下降幂多项式乘法

多项式求乘法逆元

这里给一个简化的板子，供复习：

多项式开根号

题意

思路简析

表达式

递归边界

注意：

多项式除法

思路简析

注意

多项式求ln

多项式求exp

多项式快速幂

暴力多项式算法

求逆

ln/exp

快速幂

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