LCT(Link Cut Tree)(动态树）

可能会造成某些点的 \(fa\) 指空，因此需要额外维护一个边双并查集，每次找 \(fa\) 都改为找 \(find(fa)\) (son不会指空，因为我们都只会在边双代表点的信息上修改，缩点前 \(Split\) 不会影响 \(son\) 的准确性；随点后暴力DFS后新的边双代表点无 \(son\)，单独为一棵辅助树）

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双倍经验：#4998. 星球联盟 my record

维护原图的子树

每个点把所有的虚儿子的信息也附加上就好了。在涉及修改边的实虚的时候需要格外注意。

然而没有那么简单。lct只支持维护子树信息，不支持修改子树信息。因此涉及子树而不涉及加边删边的题还是用树链剖分做更方便。

注意:只涉及到pushup,access,link，不涉及cut，因为cut实际上删的实儿子

模板题：P4219 [BJOI2014]大融合

//siz : 仅包含所有虚儿子的信息（信息以大小为例）
//Siz : 包含子树信息（含自身，实儿子，虚儿子）
inline void pushup(int cur) {
	Siz[cur] = siz[cur] + Siz[son[cur][0]] + Siz[son[cur][1]] + 1;
}
inline void Access(int cur) {
	for (register int p = cur, lst = 0; p; lst = p, p = fa[p])
		splay(p), siz[p] += Siz[son[p][1]], son[p][1] = lst,
		siz[p] -= Siz[son[p][1]], pushup(p);
}
inline void Link(int x, int y) {
	make_root(x);
	make_root(y);
	fa[x] = y, siz[y] += Siz[x];
}

应用：动态维护重心：P4299 首都

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维护树上同色连通块

例题：SP16549 QTREE6 - Query on a tree VI

可以想到对每个颜色维护一棵LCT。但是这样做修改一个点的颜色的单次的复杂度是 \(O(d \log n)\) 的，可以被菊花图卡掉。

我们把每个点的颜色上放到边上，即：只要 \(x\) 的颜色是 \(c\)，那么就在第 \(c\) 棵 LCT 上由 \(x\) 向 \(fath(x)\) 连边。其中 \(fath(1) = n+1\)。然后会发现这样做的话除了最上面的那个点颜色一定不一样以外，（断掉最上面那个点后）连通块内其余点的颜色都是和 \(x\) 相同的。于是可以 Access(x)，然后返回实子树大小。

由于我们要求LCT中的根一定也是原图中的连通块的根，我们没办法进行 makeroot 操作。但是通过手玩，我们还是有办法 link 和 cut 的。

inline void Link(int x, int y) {//y is the father of x
	//"Access(x)" is not necessary
	splay(x);
	Access(y); splay(y);
	fa[x] = y; siz[y] += Siz[x]; pushup(y);
}
inline void Cut(int x, int y) {//y is the father of x
	Access(y); splay(y);
	splay(x);//bug
	siz[y] -= Siz[x]; fa[x] = 0; pushup(y);
}

附

错误记录

错误1：

inline void Link(int x, int y) {
	make_root(x);
	fa[x] = y;
	//pushup(y);
}

主要是因为这里加的是虚边，不需pushup。而我们只保证x被splay过了，也就只保证x的信息是完全正确的。y的信息可能由于祖先的标记未被下放而出现错误。

错误2：

//动态维护最小生成树
inline void Try(int x, int y, int id) {
	int xx = find(x), yy = find(y);
	if (xx != yy) { 
		Link(x, id + n);
		Link(id + n, y);
		//不是 Link(x, y) ！！ 
		FA[xx] = yy;
		return ;
	}
	Split(x, y);
	int Md = mxid[y], md = Md - n, Id = id + n;
	if (val[Md] < val[Id])	return ;
	Cut(Md, X[md]), Cut(Md, Y[md]);
	Link(Id, X[id]), Link(Id, Y[id]);
}

错误3：

inline void make_root(int cur) {
	Access(cur), splay(cur), pushrev(cur);
	//不是 make_root(cur); 否则会无限递归
}

错误4：

inline void splay(int cur) {
	int p = cur;
	while (notroot(p))	stk[++stop] = p, p = fa[p];
    //Attention : p = fa[p];
	stk[++stop] = p;
	while (stop)	pushdown(stk[stop--]);
	
	for (register int faa = fa[cur]; notroot(cur); rotate(cur), faa = fa[cur])
		if (notroot(faa))	rotate(get_which(cur) == get_which(faa) ? faa : cur);
	pushup(cur);
}

错误5：

inline void rotate(int cur) {
	int faa = fa[cur], fafa = fa[faa];
	bool flag = get_which(cur);
	fa[cur] = fafa; if (notroot(faa))	son[fafa][get_which(faa)] = cur;
	son[faa][flag] = son[cur][flag ^ 1]; if (son[cur][flag ^ 1])	fa[son[cur][flag ^ 1]] = faa;
	son[cur][flag ^ 1] = faa; fa[faa] = cur;
    //pushup(cur); <-不能只pushup(cur)
	pushup(faa);
}

错误6：

inline void Link(int x, int y) {
	//make_root(x), fa[y] = x;
	make_root(x), fa[x] = y;
}

错误7：

inline bool notroot(int cur) {
	///return son[cur][0] == cur || son[cur][1] == cur;
	return son[fa[cur]][0] == cur || son[fa[cur]][1] == cur;
}

错误8：

inline void Access(int cur) {
//不是lst = p
	for (register int p = cur, lst = 0; p; lst = p, p = fa[p])
		splay(p), siz[p] += Siz[son[p][1]], son[p][1] = lst,
		siz[p] -= Siz[son[p][1]], pushup(p);
}

错误9：

inline void splay(int cur) {
	...
	for (register int faa = fa[cur]; notroot(cur); rotate(cur), faa = fa[cur])//rotate(cur)!!!
		if (notroot(faa))	rotate(get_which(cur) == get_which(faa) ? faa : cur);
	pushup(cur);
}

错误10

inilne void Cut(int x, int y) {
	makeroot(x), Access(y);
    splay(x);//Attention!!!!!!
    son[x][1] = fa[y] = 0;
    pushup(x);
}

错误11

inline void Cut(int x, int y) {
	make_root(x), Access(y), splay(x);
	son[x][1] = fa[y] = 0;
	//不要siz[x] -= Siz[y]！！！
	pushup(x);
}

错误12

inline void rotate(int cur) {
	int faa = fa[cur], fafa = fa[faa];
	bool flag = get_which(cur);//not "false"
    ...
}

错误13

inline void Access(int cur) {
	for (register int p = cur, lst = 0; p; lst = p, p = fa[p])
		splay(p), son[p][1] = lst, pushup(p);//splay(p)!!
}

模板（主要为make_root,Link,Cut,Split,同模板题，维护链上异或和，除查询外都不保证合法)

inline bool get_which(int cur) {
	return son[fa[cur]][1] == cur;
}
inline bool notroot(int cur) {
	return son[fa[cur]][0] == cur || son[fa[cur]][1] == cur;
}
inline void pushup(int cur) {
	sum[cur] = val[cur] ^ sum[son[cur][0]] ^ sum[son[cur][1]];
}
inline void pushrev(int cur) {
	if (!cur)	return ;
	tag[cur] ^= 1;
	swap(son[cur][0], son[cur][1]);
}
inline void pushdown(int cur) {
	if (tag[cur])
		pushrev(son[cur][0]), pushrev(son[cur][1]), tag[cur] = 0;
}
inline void rotate(int cur) {
	int faa = fa[cur], fafa = fa[faa];
	bool flag = get_which(cur);
	fa[cur] = fafa; if (notroot(faa))	son[fafa][get_which(faa)] = cur;
	son[faa][flag] = son[cur][flag ^ 1]; if (son[cur][flag ^ 1])	fa[son[cur][flag ^ 1]] = faa;
	son[cur][flag ^ 1] = faa; fa[faa] = cur;
	pushup(faa);
}
int stk[N], stop;
inline void splay(int cur) {
	int p = cur;
	while (notroot(p)) {
		stk[++stop] = p;
		p = fa[p];
	}
	stk[++stop] = p;
	while (stop)
		pushdown(stk[stop--]);
	for (register int faa = fa[cur]; notroot(cur); rotate(cur), faa = fa[cur])
		if (notroot(faa))	rotate(get_which(faa) == get_which(cur) ? faa : cur);
	pushup(cur);
}
inline void Access(int cur) {
	int lst = 0;
	for (register int p = cur; p; lst = p, p = fa[p])
		splay(p), son[p][1] = lst, pushup(p);
}
inline void make_root(int cur) {
	Access(cur); splay(cur); pushrev(cur);
}
inline int find_root(int cur) {
	Access(cur); splay(cur);
	int p = cur;
	while (son[p][0])	p = son[p][0];
	splay(p);
	return p;
}
inline void Split(int x, int y) {
	make_root(x); Access(y); splay(y);
}
inline void Link(int x, int y) {
	make_root(x);
	int rt = find_root(y);
	if (x == rt)	return ;
	fa[x] = y;
}
inline void Cut(int x, int y) {
	make_root(x);
	int rt = find_root(y);
	if (x == rt && fa[y] == x && !son[y][0])
		fa[y] = son[x][1] = 0, pushup(x);
}

posted @ 2020-07-23 17:17 JiaZP 阅读(479) 评论(0) 编辑收藏举报

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维护边双：

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