最小割&网络流应用
重要链接
基础部分链接 : 二分图 & 网络流初步
zzz大佬博客链接 : 网络流学习笔记
重点内容:最小割二元关系新解(lyd's ppt)
题目:网络流相关题目
lyd神犇课件链接 : 网络流模型设计lyd(提取码:m5sd)
国家集训队2007胡伯涛论文 : 算法合集之《最小割模型在信息学竞赛中的应用》
最详细(也可能现在不是了)网络流建模基础
对于网络流的基础部分以及其在二分图方面的应用,详见上面的第一个链接。
先 Copy 下重点:
最小割
最大流等于最小割。
如何找到最小割的割边?
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从S开始沿着残量网络BFS,把能到达的点标记上。
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连接已标记的点和未标记的点的正向边为该网络的一个最小割集。(-by lyd大佬)
如何找最小割的必须边?
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从S开始BFS跑残量网络。
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从T开始反向BFS跑残量网络。
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枚举从S指向T的满流边,这些边即为必须边
如何找某种情况的最小割的可行边?
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满流
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删掉后找不到u -> v的路径
于是:残余网络中tarjan跑SCC, (u, v)的u, v都在同一SCC中说明存在残量网络u -> v的路径 -by lyd大佬
网络流常用思想:点边转化思想
拆点:
把点拆成入点和出点,两点间边权为点权。或者拆成有两个特殊含义的点。
拆边:
对于边权比较复杂的问题(比如和第几种情况、之前选用该点次数等有关,但不管怎样都会选最小的情况作为代价),把所有情况分解成某几条边上的权值和。(类似于二进制拆分多重背包?)
如: #6068. 「2017 山东一轮集训 Day4」棋盘 ;还有P4307 [JSOI2009]球队收益 / 球队预算
注意!
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dinic的弧优化记得加,记得初始化!!别忘了s、t的初始化!!+1
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一定要连反向边!!!!!
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费用流注意一下 \(vis\) 的适用情况
以上为开头链接部分内容。
以下为正文。
Part 1
网络流模型设计lyd(提取码:m5sd)
(从第八页开始,前七页在前面有说过)
动态加点
例题:P2050 [NOI2012]美食节
题意 : n 个菜,每个菜有 \(p_i\) 个人(互不相同)选; \(m\) 位厨师, \(j\) 厨师做 \(i\) 菜的时间为 \(t_{i, j}\)。求最小等待总时间。
\(n <= 40; m <= 100; \sum p <= 800\)
建议先做一下简化版:P2053 [SCOI2007]修车
利用费用提前计算等思想,我们发现 \(j\) 厨师对答案的贡献是: \(\sum{i * t[x_i][j]}\),其中 \(x_i\) 为交付给 \(j\) 厨师的第 \(i\) 个人选择的菜。
然后我们的思路是把每个厨师拆成 \(\sum p_i\) 个点,代表每个厨师要做的(倒数)第 \(i\) 个菜的相关费用。(这样费用便于计算),然后再搞一搞,用最小费用最大流跑一跑。
然后复杂度会炸掉。
我们发现肯定不会每个厨师都做 \(\sum p_i\) 道菜,直观的想法是,谁做菜快(受到众人的青睐)就多给他一些机会。
具体来说,就是动态加点。先按照最小费用(第一次的最短路)跑他一跑,发现谁备受青睐(都选他,即他连向汇点的边都满流),就给他再开一个做饭的位置,给他多做一道菜的机会。然后重复。最后一直跑到最大流为 \(\sum p_i\) 为止(所有菜都做完了)。
\(Code:\)my record
平面图与对偶图
经典例题 : P4001 [ICPC-Beijing 2006]狼抓兔子
平面图 :
一张无向网络,能够在一张纸上画出来,并且边不交叉。
网格图是特殊的平面图。
一张平面图的对偶图
将平面图在纸上画出来,并且将源点与汇点用另外一条边相连。发现一张纸被平面图的边分成了好几部分。将这几部分用带编号的点来表示,原图的边(不含后来加的源点到汇点的边)转化成其两侧的区域点的连边。
平面图的最小割 等于 其对偶图的最短路
跑从对偶图中的 \(S'\) -> \(T'\)的路径,发现每条路径都将原网络分割成两部分(即源汇分开),是一种割。因此平面图的最小割 = 对偶图的最短路。
这样,\(O(n^2m)\)(假)就有望优化成 \(O(nlogn)\)(\(dijkstra\))。
\(Code:\)my record
加强 : 有向网格图的平面图与对偶图
这回我们每条边有了两个不同的权值。其实和之前差不多,只不过当时我们理直气壮地把每条边直接当作两条边处理,这回我们要区别这两条边了。
通过画图可知,对于网格图的对偶图来说,(原图中)从坐上走到右下的最小割,就相当于(对偶图中)从坐下走到右上。那么我们直接把所有(原图的)边都逆时针旋转 \(90\) °,就是对偶图上的边。
具体来说,原图中的每条边,就相当于(对偶图中)从它的右侧穿越到它的左侧。据此建图即可。
如果有些边根本就没有呢?那么就说明这些边不用花费任何代价就可以被割断,设置一些流量为0 的边即可。
拓展 : 给出平面图,求对偶图
给出平面图上的一些点的坐标,还有连接其中某些点的边(含边权),求其对偶图。
关键在于求出所有小区域,需要高超的计算几何技巧。
(直接Copy)
原图中的每条线段看做双向向量。
• ① 任选一条未被标记的向量u→v。
• ② 找到与向量v→u逆(或顺)时针方向夹角最小的向量v→w。
• ③ 如果v→w已被标记,转到④;否则将它标记,令v=w, u=v,重复②。
• ④ 重复①~③,直至所有向量都被标记。
• 每次到达④,都会找到一个区域。通过记录每个区域的边,计算它的面
积正负,可以判断它是内部区域,还是外部的无限大区域。
• 如何求与向量v→u逆时针方向夹角最小的向量?
• 两种需要更新答案v→p的情况:
• v→p在v→u的顺时针方向(vu × vp<0)
并且v→w在v→u的逆时针方向(vu × vw>0)
• v→p和v→w在v→u同侧
并且v→w在v→p的顺时针方向(vp × vw<0)
例题:
建对偶图 + 生成树
点被围起来 = 点不与最外面联通
因此建立对偶图,暴力枚举点集,求最小割。
多源点最小割?超级源点!
建对偶图 + (无根)最小树形图。
不错的计算几何题。
最大权闭合子图
一张有向无环图,点有点权(可能为负),对于边 \((u, v)\),如果选择 \(u\) ,就必须选择 \(v\)。求所选的点的最大权值和。
方法
对于所有点权为正的点 \(u\),我们连\((s, u, val[u])\);对于点权为负的点 \(v\),我们连 \((v, t, -val[v])\);对于边 \((u, v)\),我们连 \((u, v, inf)\)。求最小割,正点权和减去最小割即为答案。
对于环,需要特殊处理(如缩点等等)。
理解与证明
首先我们先选上所有正点权。为了满足边的要求,我们要选择一些负点权,或者抛弃一些正点权。
建好图后,如果我们割掉正点和 \(S\) 之间的边,而把正点权归为 \(T\) 那边,则说明我们放弃了正点;如果我们割掉负点和 \(T\) 之间的边,而把负点归到 \(S\) 那边,说明我们要选择这个负点。
因此,方案为 : 从 \(S\) 开始 \(dfs\),标记能经过的点。这些能经过的点即为我们选择的点。
最大密度子图
一张无向图,点有点权,边有边权。选出其中的一个子图,使得 点权之和与边权之和的比值最小(即 边权和与点权和的比值最大)。输出点权之和与边权之和的比值。
前置技能:01分数规划
二分点权与边权的比值为 \(d\)。那么我们的任务是最小化 \(\sum_{p}val_p - d * \sum_eval_e\),查看是否为正。
如果我们把每条边看作一个点,那么我们选择这条边就要获得 \(- d * val_e\) 的代价(点权);选择一个(原图)点,就要获得 \(val_p\) 的代价(点权)。并且要求选择边就一定要选择边两边的点。
然后成功转化为最大(小)权闭合子图的问题。
复杂度:约\(O((n + m)^3)\)。
算法改进
我们希望尽量少的让复杂度与 \(m\) 相关。
考虑二分后最后选出的那个子图(子图上的点记作黑点),如果我们知道子图的点是哪些,那么我们一定会选出黑点与黑点相连的所有边。这些边与子图上的点称之为诱导子图。答案为:
其中中间的那个求和式我们可以预处理出来,成为与点权有关的式子,记之为 \(sum[p]\);最右面的那个求和式即为最小割。
我们将所有点与 \(S\) 连边\((S, p, val[p] - d / 2 * sum[p])\),(原图中的)边连为双向边 \((u, v, 1 / 2 * val_{u, v})\),然后求最小割得:\(mincut\)
至于如何处理负数流量,以及如何处理分数,下面“最小割二元关系新解”部分会有讲解。
答案即为 \(mincut\)。
方案:某点如果与 \(S\) 的连边为割边,则该点被选。
Continued...
混合图欧拉回路
一张图中既有无向边,也有有向边,求是否有经过每条边恰好一次的回路。
(无向图欧拉回路、有向图欧拉回路可以通过度数(或入度、出度关系)来直接判断。)
混合图欧拉回路可以变成:是否存在一种无向边定向方案,使得每个点的入度等于出度。
如果我们先把无向图随意定向,那么会出现某些点入度出度不等的情况。(当然,如果某个点的出入度之和为奇数,则一定无方案)但是,我们可以通过对一些无向边的方向进行反悔,来修改每个点的出入度关系。
一条无向边被定为(u -> v),它有机会改成(v -> u),使得 u 的出入度之差减二, v 的出入度之差加二。
因此我们设 \(D[cur] = \frac{ind[cur] - outd[cur]}{2}\),并且先将无向边 \((u, v)\) “连”(原图中)成 \((u -> v)\),并且连一条反悔边 \((v -> u, val = 1)\),表示反悔将使 \(D[u]--,D[v]++\)。有向边按题意连,同时维护 \(D\)。最终如果 \(D\) 出现小数,说明无合法方案;否则 \(S ->\) 正数 \(D\),负数 \(D -> T\)(不难,好好想想)。
然后跑最大流。如果可以满流(最大流等于所有正数节点的权值之和),那么说明至少存在一种方案,能够使得该图为欧拉回路。
实际上最快的理解方式就是举个简单的例子,寻找正确的方法。
无源汇有上下界可行流
rt
首先把下界强行跑满,但是可能会不符合网络流的流量守恒的性质。
根据入与出的差值,如果某个点入过多,那么就给它找个出的机会,就是来自 \(S\) 的帮助;反之,如果出过多,就给它找到个入的机会,就是来自 \(T\) 的帮助。
因此,我们将入过多的点与 \(S\) 相连,出过多的点与 \(T\) 相连,剩余的边的边权为原图的 \(max - min\)。然后跑最大流,能满流就说明可行。
可行的方案为跑完最大流后的(除去 \(S\) 和 \(T\))网络(加上下届)。
无源汇有上下界最小费用可行流
由于下界是必须选的,因此下界必须的费用是一定会对答案造成贡献的。剩下的对答案的贡献为 : 为了流量守恒,不得不流动的流量,出现在最后的跑最大流中。因此最后我们在连向 \(S\) 或 \(T\) 时,将边费用设置为 0.然后跑最小费用最大流,最后两部分总和即为答案。
最小/大费用循环流
例题1:UVA1659 帮助小罗拉 Help Little Laura
例题2:T134939 Tree
这里的循环流指的是:无源汇,容量无下界有上界,边有费用,需要满足流量守恒。求一股循环流满足以上条件,且费用最小。
还是常见的套路(以最小费用最大流为例):首先把负边权给强制选上(为了更优,同时避免负环),不过注意要留“后路”,即返回边。这样的话虽然费用尽可能的少了,但是“流量守恒”可能就不符合了。于是我们可以利用S和T调节一下,使得流量守恒,又要尽可能少地花费。这一步就是普通的MCMF了。
即:正边 \((u, v, w, f)\) 照常连,负边\((u, v, w, f)\) 先让答案加上个\(w * f\),然后连边:\((u, t, w, 0), (s, v, w, 0), (v, u, w, -f)\),跑最小费用最大流。最终答案就是一开始加的那些\(w * f\) 再加上后来跑的最小费用。
有源汇有上下界可行流
rt
实际上这个更常考些, 如: Budget 和 Shoot the Bullet
有源汇的网络流,源汇可以不满足流量守恒,源点可以随便流出,汇点可以随便流入。于是我们将其连边( \(T\) -> \(S\)),上下界设置为 \([0, +∞]\)。然后就是无源汇有上下界网络流。
有源汇有上下界最大流/最小流
其实都可以用二分来做。
最大流 : 求完可行流后,从\(s\)(原源点) 到 \(t\) (原汇点)求一遍最大流(只经过原图的点,跑余量网络),\(ans += mxflow\)。
最小流 : 求完可行流后,从\(t\)(原汇点) 到 \(s\) (原源点)求一遍最大流(只经过原图的点,跑余量网络), \(ans -= mxflow\)。(lyd说填充循环流,并不太懂)
有源汇有上下界最小流还有一种更简洁的方法:可以先不 \(t\) -> \(s\),跑一个“无源汇”有上下界可行流,这时候所有循环流都已经填满,然后我们再 \(t\) -> \(s\),再跑一遍“无源汇”有上下界可行流,这时 \(t\) -> \(s\) 的流就是不得不跑的最小流
有源汇有上下界最小费用可行流
基本上所有的“最小费用”都是将 bfs 改成 spfa,在费用最小的前提下达到限制条件。
习题
最小割二元关系新解
见链接。
模拟费用流
序列
给俩长为 \(n\) 的序列,要求每个序列选择恰好 \(K\) 个下标,且至少有 \(L\) 个下标同时被选。求选择的数的和的最大值。\(1 \le L \le K \le n \le 10^6\)
感谢 i207M 学长的帮助。应该是我第一次弄懂模拟费用流吧。
首先可以建图:
跑流量为 \(K\) 的最小费用流。
参考题解,我们可以先给 CD 跑满 K 的流量,然后想办法退掉 L 的流量,跑到中间的那些 \((1,0)\) 的边中。
讨论如何退流:
先不考虑退中间 \((1,0)\) 边的流。首先肯定长成 ① 的样子,直接连起来就是 ②,去 \(S\) 逛一圈就是 ③,去 \(T\) 逛一圈就是 ④,都逛一圈就是 ⑤。由于一条增广路不会经过重点,不会经过两次 \(S\) 或 \(T\),于是这四种情况基本上就全了。
考虑上退中间边的流的情况。手玩一下发现就只有 ⑥ 这一种情况,其余就重复经过 \(S\) 或 \(T\) 了。
维护好每一对点的状态,模拟即可。(②可以提前处理好,因为以后不会生成②)
Part 2
还是直接看论文吧(尽管看不懂)
满流边不一定是最小割!!
基于定义的直接应用
例题:网络战争
题意:给一张无向图,边有边权,有源点 \(S\) 和汇点 \(T\)。最小化:
其中 \(C\) 为使 \(S\) 与 \(T\) 分开的割集, \(e\) 为割集中的边。
直接除法不是很好做。发现答案具有单调性。我们可以二分答案 \(d\),然后 \(che()\) 函数就是要判断:
即
然后以新边权为容量,求最小割即可。
容量为负?那选他一定更优(管他在不在割集里面),直接把它割掉(即不加这条边或设置其容量为0)统计答案。剩下的正权边再跑最小割。
例题 : SP839 OPTM - Optimal Marks
版本二提交处:bzoj2400
题意:
给你一个无向图G(V,E)。 每个顶点都有一个int范围内的整数的标记。 不同的顶点可能有相同的标记。
对于边(u,v),我们定义:
现在我们知道某些节点的标记了。你需要确定其他节点的标记,以使边的总成本尽可能小。在此条件下,要求点的标记总和尽可能小。 在这两个条件下,你可以输出任意一种合法的方案,以及边的总成本和最小的点权和。
自己想出来的为数不多的最小割题,尽管TLE and WA 调到飞天。。。
发现 \(xor\),并且各位之间互不干扰,因此可以针对每一个二进制位做。
然后有点像“最大权闭合子图”?总之就是未知的点选一或者选0,要求最终边权和最小。
发现从已知的 1 走到 0,期间至少要经过一条对答案有贡献的边。或者说,我们要将点集分成两类“块”,1和0属于不同的“块”内。我们要做的是选出一些点,使得“1块”和“0块”不连通,并要求“边界”最少。然后就很像最小割了。
将 \(S\) 向 "1点"连 inf 边, "0点" 向 \(T\) 连 inf 边,原图中的边为 1 边。求最小割。然后从 \(S\) 出发dfs,遍历到的点为我们选择的 1 点。
为什么这样做点权和最小呢 ?
点权和可以拆成每一位对答案的贡献。要求我们在做每一位时,点权和一定最小,也就是说,希望dfs到尽可能少的点。因为我们总是一遇到满流边就停止了,因此我们走到的是 \(S\) 所在的“最小区域”。
举个例子:
S --(inf)--> 1 --(1)--> 2 --(1)--> 3 --(1)--> 4 --(1)--> 5 --(inf)--> T
这张图你随便认为最小割是哪一个,反正我们从 \(S\) 出发,只走到了 1。
Continued...