DP学习记录Ⅰ
DP学习记录Ⅱ
前言
状态定义，转移方程，边界处理，这三部分想好了，就问题不大了。重点在状态定义，转移方程是基于状态定义的，边界处理是方便转移方程的开始的。因此最好先在纸上写出自己状态的意义，越详细越好（如至少/恰好，包含/不包含XXX）
DP题通常码量不大，但是非常考验码力，因为细节非常多，比如边界包含不包含0/n?转移顺序是正着转移还是倒着转移？
通常情况下，边界设为 0~n 最为保险，但是要保证不出负数，并且保证0/n+1的状态合法(inf OR -inf OR 0) 等这么写完后发现会越界再改也可以。
至于转移顺序，就要具体分析了。主要看我们想要不想要之前已经转移过来的状态再多次转移 （如01背包就不能一件物品选多次，因此要干净的之前状态；恰好 -> 至少 的常用方法就要用一种类似前/后缀和的思想，就要不干净的/包含所有之前信息的状态来转移。
Continued...
线性dp
通常体现为序列上的dp。应该算dp的基础部分了（尽管也有难题）
P3646 [APIO2015]巴厘岛的雕塑
主要考查的是按位贪心的想法，以及可行性dp转化为最优性dp的方法。妙处在于设置“模板”来确定转移的合法性。坑点在 define int long long 并不能改 \(1 << i\) 为 \(1ll << i\)，可能爆负数。
可行性dp -> 最优性dp
当我们的一开始想出的状态为 \(f[i][j][k]\) 表示前 \(i\) 个中某特征为 \(j\)，某特征为 \(k\) 的状态是否合法的时候，如果 \(k\) 越大越好（或者越小越好之类的），可以转化为 \(f[i][j]\) 表示前 \(i\) 个中某特征为 \(j\)，最大的合法的 \(k\) 是多少。
背包
常见背包
\(f[i]\) 表示花费 \(i\) 的代价所能获得的最大收益。
- 01背包
- 完全背包
- 多重背包（二进制拆分，单调队列，前缀和优化）
特殊背包
- 多限制背包
如除了体积外，还有大小，花费等限制。
\(f[i][x][y][z][...]\) 表示考虑前 \(i\) 个物品，体积为 \(x\)，大小为 \(y\)，花费为 \(z\)...的最大收益。第一位可以压掉。
- 大容量小价值背包
体积的规模巨大，但是能保证价值之和足够小。
\(f[i][v]\) 表示考虑前 \(i\) 件物品，获得 \(v\) 的价值最小要用多大容量的背包。第一位可以压掉，答案可以二分。
背包合并
有 \(O(n^2)\) 的做法：
把一个背包看作 \(n\) 件物品，即 \(f[w] = v\) 看作一个体积为 \(w\)，价值为 \(v\) 的物品。并且要求只能选择一件物品。这就要求我们在更新 \(F[W]\) 之前，不能更新 \(F[W - w]\)。（具体间转移方程）
转移方程：（\(f\) 合并到 \(F\) 里）
需要保证 \(F[W-w]\) 是干净的，不带任何有关所有 \(f[w]\) 的。因此需要把 \(W\) 放在外层枚举，且倒序； \(w\) 放内层，顺序任意。
for (i = K -> 0)
for (j = 0 -> i)
MAX(F[i], F[i - j] + f[j]);
背包与自然数的划分
把 \(n\) 划分为若干不同的正整数的方案数：可以看做对\(1\) ~ \(n\) 这 \(n\) 个物品做01背包。
把 \(n\) 划分为若干可重的正整数的方案数：可以看做对\(1\) ~ \(n\) 这 \(n\) 个物品做多重背包。
树形dp
树形dp做多少题也不算多
-
最大独立集
-
最小点覆盖
-
最小支配(点或邻点被选，谓之“支配”）（三种状态）
-
最大匹配
-
换根dp
-
基环树dp
-
树形背包
换根dp
首先\(O(n)\) 的时间内搞出以1为根的信息；再尝试把根换为相邻点，需要 \(O(1)\) （或 \(O(logn)\))的时间内换完，然后更新答案，递归；回溯时还原信息。
树形背包
树上转移式子为 \(f[fa][i + j] = f[fa][i] + f[son][j]\) 的dp题。通常可以通过限制dp上界，保证复杂度不超过 \(O(n^2)\)
这部分细节比较多，对分类讨论能力要求较高。一定要细心啊！！
P3354 [IOI2005]Riv 河流
非常考察费用提前计算思想（没想到就无法dp）。
\(f[i][j][k]\) 表示 \(i\) 的伐木场建在 \(j\)，且 \(i\) 及其子树内共建立了 \(k\) 个伐木场的最小费用。
子树向父亲转移类似两背包合并。
基本转移方程：
小技巧1：分类与合并
我们发现 \(i\) 点建与不建伐木场是有一些区别的。因为如果单纯用 \(f[i][i][ * ]\) 来表示在 \(i\) 点建立伐木场的话，那么 \(i\) 的祖先将无法统计上 \(i\) 点。
那么我们需要一个 \(f[i][anc][ * ]\) 来表示 \(i\) 已经建了伐木场了，但是它还是想要在 \(anc\) 这一祖先上建伐木场。这样 \(anc\) 才能识别并拾取 \(i\) 点信息。
因此，我们需要新开一个状态 \(g[cur][anc][ * ]\) 表示 \(cur\) 点建了伐木场且希望在 \(anc\) 处再建一个伐木场。对 \(g\) 差别对待，最后再把它合并到 \(f\) 里头。
小技巧2：无脑赋值初始化
不知道怎么初始化怎么办？直接拿一绝对合法的转移做初始化即可。
小技巧3：费用最后一块算
如果不愿意在转移里面写那么多 \(+w[cur]\) 之类的东西还怕出错算重的话，可以尝试在最后同一加上 \(w[cur]\)。
P3267 [JLOI2016/SHOI2016]侦察守卫
消防局的设立的超级加强版。
\(f[cur][d]\) 表示从 \(cur\) 开始（含）向下 \(d\) 层需要被覆盖（有可能并不需要，或参差不齐，但是保证d层往下绝对不需要）的状态，的最小代价。
\(g[cur][d]\) 表示 \(cur\) 可以向上（不含）覆盖 \(d\) 层的状态（当然也包含可以向上盖d + XX层的情况），的最小代价。
转移方程：
将新子树的信息逐个加入至原信息中。
一、g的转移。
-
初始化（一进dfs，未加入子树时就进行）：\(g[cur][d(<= ~ D)] = w[cur]\)；\((f[cur][0] =) g[cur][0] = w[cur](if ~ cur ~ is ~ important) ~ OR ~ 0(else)\)
-
子盖外：\(g[cur][d] <- f[cur][d + 1] + g[to][d + 1]\)
-
外（它子）盖子：\(g[cur][d] <- g[cur][d] + f[to][d]\)
-
维护“可以”的性质（后缀和）：\(g[cur][d] <- g[cur][d + 1]\)
二、f的转移。
-
初始化（未加入子树时进行）：\(f[cur][d] = 0\)；\(f[cur][0] = w[cur]~ (if ~ cur ~ is ~ important)\)
-
需要子树全部被盖：\(f[cur][0] = g[cur][0]\)
-
父子同时等待被盖：\(f[cur][d] += f[to][d-1]\)
-
维护“d层内随意”性质（前缀和）：\(f[cur][d] <- f[cur][d - 1]\)
想清楚所有情况后，转移顺序之类的小细节就有了依据。因此要码这种恶心的DP题，最好先想好所有的状态及转移。
T135128 树
给定 \(n\) (<=1e4) 个点的点带权树，要求选择一些点，使得其两两之间距离大于 \(K\) (<=1e2)，最大化点权和。
收到上一道题的毒害，我这道题还是想\(f\),\(g\)，然后写了五六个式子，最后连定义都弄不清了，发现 \(f\) 和 \(g\) 有重叠的地方，也就是说，我可以根据 \(f\) 来推导出 \(g\)。到这里我基本可以确定我又一次掉坑里了。
还是不要思维固化啊
实际上这道题还是听简单的，就只用设计一个状态就好了。毕竟不是覆盖问题。
设 \(f[cur][j]\) 表示处理好了 \(cur\) 及其子树（目前的），并且子树内（含cur）距离 \(cur\) 最近的那个点的距离不小于 \(j\) 的...
然后转移方程什么的就很显然了：
P6223 [COCI 2009] PODJELA
树形背包。
考查状态的灵活改变。使用 \(f[cur][i]\) 表示处理完 \(cur\) 节点的子树，使用 \(i\) 次交换机会的最大 val[cur] 值（贪心)
这里有一个有关dp顺序的小技巧：如果实在不知道怎么安排dp顺序，可以新开一个数组 \(g\)，存储 \(f\) 的值，然后再清空 \(f\)，再用 \(g\) 去更新 \(f\)，就能保证 \(g\) 全部是干净的。
P3177 [HAOI2015]树上染色
树形背包。
考查状态的灵活改变。使用 \(f[cur][i]\) 表示处理完 \(cur\) 节点的子树，使用了 \(i\) 个黑点，子树中的边对答案的贡献的最大值。
注意到，如果存的是子树中的答案的最大值的话，没有“最优子结构”的性质（局部最优 \(\not=\) 全局最优).但是如果考虑边的贡献的话，搞完子树里面的边后，只要确定子树中有 \(i\) 个黑点，就和外面的边的贡献没关系了。
剩余的和上一道题类似。
其实这种把“两两之间的距离之和”转化为一条条边的贡献还是很常见的一种套路。
P4037 [JSOI2008]魔兽地图
状态不是很好想： \(f[cur][j][c]\) 表示 \(cur\) 子树中，有恰好 \(j\) 个 \(cur\) 用来上贡，使用恰好 \(c\) 个金币所能获得的最大剩余价值。
然后先算出买 \(j\) 个 \(cur\)，恰好花 \(c\) 个金币的最大剩余价值，这是个树形背包：
然后再把 \(g\) 处理成 \(f\)：
叶子的 \(f\) 可以直接特判掉：
看似复杂度达到 \(1e10\)，但是是可以跑过的。
然后细节较多，各种边界，dp顺序之类的东西要格外注意。
（然而最终竟然挂在了数组大小上...)
P4201 [NOI2008]设计路线
题目要求树上选择一些链，并且要求叶子节点到根节点的“轻边”的数量的最大值最小，还要求方案数。
如果只求最小值，那么这题可以开到 1e6，我们直接贪心DP取最小值即可。但是由于要求方案数，一些“局部不优”的方案可能会被一些不得不做的“更劣解”所“掩盖”掉，使其合法化，因此记录子树最大轻边数并做一些看似不必要的转移显得十分必要。
幸运的是，根据树链剖分的知识可知，最大轻边数是 \(log\) 级别的。因此直接计入状态DP即可。
我们可以设 \(f[cur][k][0/1/2]\) 表示 \(cur\) 子树里轻边数都小于等于 \(k\) 的方案数。
为了方便DP，我们可以设 \(g[cur][k][0/1]\) 表示 \(cur\) 的父边为轻/重边，对父亲关于 \(k\) 的转移的贡献
然后分类讨论：
然后随便DP即可。
区间DP
通常是给定一个区间以及某些特征后，该区间内的最优价值/代价就可以通过两个子区间来确定，那么可以考虑通过区间DP来做。
常见的转移方程形式主要为：单点扩展；枚举划分点。
CF1312E Array Shrinking
板子题，不多说。状态：\(f[l][r]\) 表示合并 \([l, r]\) 后的那个数是什么。
P3205 [HNOI2010]合唱队
倒过来模拟，发现原前缀体现为一段区间。然后记录 \(f[l][r][0/1]\) 表示 \([l,r]\) （最后加在左/右边）的方案数。
注意，如果 \(f[i][i][0] = f[i][i][1] = 1\) 的话会算重。可以去掉一个，或者直接将长度为二的状态作为边界。
P1864 [NOI2009]二叉查找树
由于key值一定，可以确定中序序列。
发现区间DP类似BST的构建。一个区间类似一个子树。
如果我们设 \(f[l][r][rt]\) 的话，将无法体现 \(rt\) 的权值是什么，因为可能已经被修改了。因此，可以设 \(f[l][r][m]\) 表示区间的根的权值不低于 \(m\)。这样，就可以分两种情况（改 OR 不改）讨论转移。
由于权值可以取实数，避免了很多讨论。
状压DP
有时我们为了完整地表示出状态，不得不用一堆数来表示一个状态。状态压缩是一种常用的方法。
一般状态为01串最方便。如果状态为 \(k\) 进制数的话，最好从0开始数数，并且手写几个函数，来支持一系列操作，这样会方便很多。
旅行商（哈密顿路径）
过于经典的状压例题。
逐行转移 & 逐格转移（轮廓线DP）
例题：互不侵犯，炮兵阵地，玉米田
卡逐行转移的例题：P2435 染色
设上一行的状态为 \(S\)，枚举这一行的状态为 \(T\)。判断 \(S\) 能否转移到 \(T\) 即可。复杂度: \(O(nm2^{2m})\)（一般达不到这个上限，因为有一些不合法的状态；并且那个 \(m\) 是位运算复杂度，可以认为是略小于 \(O(1)\) 的）
如果 \(m\) 比较大，比如 15 或者 20，怎么办？
逐格转移（轮廓线DP）！
（似乎感受到了插头DP的气息）
设 \(f[state]\) 为轮廓线上的状态。这样，在转移第 \(i\) 行第 \(j\) 列的格子转移的时候，只用判断轮廓线上与那个格子相邻的几个格子是否合法即可。
有的时候需要在一行的开头和结尾做一些特判。
复杂度：\(O(nm2^m)\)
//P2435
for (register int i = 1; i <= n; ++i)
for (register int j = 0; j < m; ++j) {
memcpy(g, f, sizeof(f));
memset(f, 0, sizeof(f));
for (register int s = 0; s < All; ++s) {
if (!g[s]) continue;
int l = j ? Find(s, j - 1) : -1;
int u = Find(s, j);
for (register int t = 0; t < k; ++t)
if (l != t && u != t)
MOD_ADD(f[Add(Del(s, j), j, t)], g[s]);
}
}
【经典问题】骨牌覆盖问题：初级 高级 终极
即：给定 \(n\) 行 \(m\) 列的棋盘，要求使用 1 × 2 的骨牌恰好完全覆盖整个棋盘。求方案数。
感觉hihoCoder上面讲得非常棒
Part1 : n = 2, m <= 1e9
状态 \(f[n]\) 表示到 \(n\) 列且恰好铺满的方案数。
发现只有最后横铺两个或者竖着铺一个这两种转移。即：\(f[n] = f[n - 1] + f[n - 2]\)。矩阵加速求斐波那契数列的第 \(m\) 项即可。
Part2 : n <= 7, m <= 1e9
考虑“按行转移”，关键在查询哪些状态的转移是合法的。不难发现，当前行确定后，上一行的可行状态唯一。
如果当前行横铺一个，那么要求上一行对应的那两列为1.
如果当前行竖着来一个，那么要求上一行对应列为0.
如果当前行空着一个格子，那么要求上一行对应列为1.
DFS判定即可。
得到矩阵后，以此作为转移矩阵，随便矩乘几下即可。
复杂度：\(O((2^n)^3logm)\)
Part3 : n,m <= 20
数组完全存不下。但是发现每一行对应的只有一种状态，直接存那种状态即可。
复杂度: \(O(2^nm)\)
Part4 : 不要求恰好完全覆盖，n,m <= 16
可以考虑按格转移。维护“一行”轮廓线。然后分三种情况转移即可。
Part5 : 不要求恰好完全覆盖，n <= 8, m <= 1e9
这时一种状态就可能会转移出多种状态了。需要 \(O(2^{2n})\) 枚举，\(O(n)\) 逐一判断。
据说可以“去掉⽆⽤的状态，即可通过”，然而并不知道哪些状态“无用”。
所以我这种方法只能通过 n <= 7 的点， n = 8 的时候计算量达到了 5e8。不过矩乘常数不大，或许可过？ 可能需要更宽的时限。
P3959 宝藏
由于 \(n\) 非常小，因此可以考虑状压。
又因为代价由两个参数决定，如果控制住了其中一个，另一个就可以贪心解决了。
发现 \(L\) 没法控制，只好控制 \(K\)。即：一层一层地DP。
需要枚举 \(S\) 和其子集 \(s\)。
一个常识是：枚举一个集合 \(S\) 的所有子集的所有子集的复杂度是 \(O(3^{|S|})\)。这个可以用每一个数在各集合中的三种不同状态来证明。同理可证，枚举一个集合 \(S\) 的所有子集的所有子集的所有子集的复杂度是 \(O(4^{|S|})\).
然后预处理 \(trans[s][s']\) 后按照层数 DP 即可。预处理 \(trans[][]\) 可以贪心。思想与斯坦纳树类似。
复杂度： \(O(n^23^n)\)
P4297 [NOI2006]网络收费
DP综合题：需要用到树形DP，背包，状压DP，以及“做承诺”（费用提前计算）思想。
设\(f[cur][k][s]\) 表示DP到了\(cur\)，子树中共有 \(k\) 个 \(B\) 型点，且从 \(fa[cur]\) 到根的点的状态为 \(s\) 的最优代价。
叶子的所有状态可以直接处理出来。这里包含了所有代价，剩下我们要做的只是把子树拼一拼，看看合不合法。
根据 \(A\) 型点的子树 \(A\) 严格少于 \(B\) 型点，我们控制枚举的 \(k\) 的范围。对于“拼子树”，做树形背包即可。
然后发现需要 \(O(2^{3n})\) 的空间复杂度。考虑到深度变浅一点， \(|s|\) 会变小一点，\(k\) 会增大一点。这样，我们直接把后两维压成一维即可做到空间 \(O(2^{2n})\)。
细节非常多。我谨慎小心地写代码，还出了六个错。还是太菜了。
