斜率优化

斜率优化

斜率优化是个难点，或许做多了就好了吧。

还是和各种DP优化一样，我们先想出比较暴力的转移方程：f[i] = max{f[j] + xxx}，如果发现xxx里有i的相关项与j的相关项相乘的话，就可能是斜率优化了。

我们通常以j的相关项为横坐标，f[j]为纵坐标，把候选决策集合（点集）表示出来，再把f[j]用j的相关项和i的相关项表示出来，如果发现f[j] = xxx是斜率已知的直线，纵截距代表f[i]，那么用斜率优化就基本没错了。

例题：301. 任务安排2

正好遇到这道题就说一下：如果某个状态进行某种决策后，其对后的影响已知，不妨让状态顺便包含一下该影响。这种思想叫“费用提前计算”（by lyd)

如这道例题，状态f[i]如果表示将前i件任务分批处理所需最小费用（含S对以后的影响），那么这道题将由n³降到n²。

代码：

struct vectors{
	int x;
	int y;
	vectors(int xx = 0, int yy = 0){x = xx, y = yy;}
	vectors operator +(const vectors a)const {
		return vectors(x + a.x, y + a.y);
	}
	vectors operator -(const vectors a)const {
		return vectors(x - a.x, y - a.y);
	}
	int operator *(const vectors a)const {
		return x * a.y - y * a.x;
	}
}q[N << 2], xl;
int main() {
	...
	for (register int i = 1; i <= n; ++i) {
		tmp = s * csum[n] + tsum[i] * csum[i];
		f[i] = tmp;
		xl = vectors(1, s + tsum[i]);
		while (front + 1 < rear && (q[front + 2] - q[front + 1]) * xl >= 0)	front++;
		if (front < rear)	f[i] = min(f[i], tmp + q[front + 1].y - q[front + 1].x * (s + tsum[i]));
		xl = vectors(csum[i], f[i]);
		while (front < rear - 1 && (q[rear] - q[rear - 1]) * (xl - q[rear - 1]) <= 0)	rear--;
		q[++rear] = xl;
	}
    
	printf("%lld\n", f[n]);
}

注意！！

写正常斜率优化的第二个While(取答案）时，一定记得... * (xl - q[rear - 1])而不是... * xl！！（计算几何没学好）

果然计算几何没学好

斜率优化的第二个While（取答案）时，是(stk[] - stk[]) * xl而不是(stk[] - stk[]) * (stk[] + xl)！！！

注意斜率是 xl(1, ...)，而不是 xl(...)。

注意计算几何要用 <= 而不要用 <。