[ABC288G] 3^N Minesweeper 题解

非常有教育意义的题目。

思路#

我们需要深入理解 fwt 的本质。

本质上，我们不断对每一维进行线性变换。

例如在做 $a_i=\sum _{i|j=i}{b}_j$ 时。

我们的 fwt 过程中的变换是：

$$\{\begin{array}{l}{a}_0=b_0\\ a_1=b_0+b_1\end{array}$$

这一点很容易理解，我们是将值为 $0$ 的累加到值为 $1$ 的上面。

对于这道题来说，尽管每一维变成了三个数，但它同样也是一个线性变换。

我们首先考虑如何从答案推导输入：

$$\{\begin{array}{l}{a}_0=b_0+b_1\\ a_1=b_0+b_1+b_2\\ a_2=b_1+b_2\end{array}$$

现在我们需要通过输入得到答案，这实际上是对上述变换的逆变换。

只需将 $b$ 解出来即可。

$$\{\begin{array}{l}{b}_0=a_1-a_2\\ b_1=a_0+a_2-a_1\\ b_2=a_1-a_0\end{array}$$

然后直接套 fwt 过程即可。

时间复杂度：$O(n{3}^n)$。

Code#

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
int m;
int a[1000010];

int main() {
  cin >> n, m = 1;
  for (int i = 0; i < n; i++) m = m * 3;
  for (int i = 0; i < m; i++) cin >> a[i];
  for (int i = 1; i < m; i = i * 3) {
    for (int j = 0; j < m; j = j + i * 3) {
      for (int k = j; k < j + i; k++) {
        int x = a[k];
        int y = a[k + i];
        int z = a[k + i + i];
        a[k] = y - z;
        a[k + i] = x + z - y;
        a[k + i + i] = y - x;
      }
    }
  }
  for (int i = 0; i < m; i++) cout << a[i] << " \n"[i == m - 1];
}