CF1479E School Clubs 题解

感觉这种题都比较套路。

思路#

我们考虑定义势能函数 $\mathrm{\Phi }(x)$，满足：

• 对于一个随机过程，$E(\mathrm{\Phi }(A_{x+1})-\mathrm{\Phi }(A_x)|A_x,\cdots ,A_0)=-1$。
• $\mathrm{\Phi }(A_t)$ 为定值，并且 $\mathrm{\Phi }(A_t)=\mathrm{\Phi }(A_i)$ 当且仅当 $i=t$。

此时，$\mathrm{\Phi }(x)+x$ 为离散时间鞅。

根据停时定理，$E(\mathrm{\Phi }(A_t)+t)=E(\mathrm{\Phi }(A_0))$。

所以有 $E(t)=\mathrm{\Phi }(A_t)-\mathrm{\Phi }(A_0)$（$\mathrm{\Phi }(A_t),\mathrm{\Phi }(A_0)$ 都是定值）。

我们定义 $f(a_i)$ 为 $a_i$ 个学生的组的势能。

令 $\mathrm{\Phi }(x)=\sum f(a_i)$。

所以有：

$$\sum _{i=1}^{m}f(a_i)-1=\sum _{i=1}^m\frac{a_i}{n}(\frac{1}{2}(f(1)+f(a_i-1))+\frac{1}{2}(\frac{a_i}{n}f(a_i)+\frac{n-a_i}{n}f(a_i-1)))+\frac{n-a_i}{n}(\frac{a_i}{2n}f(a_i+1)+f(a_i))$$

不妨加强限制，钦定：

$$f(x)-\frac{x}{n}=\frac{x}{n}(\frac{1}{2}(f(1)+f(x-1))+\frac{1}{2}(\frac{x}{n}f(x)+\frac{n-x}{n}f(x-1)))+\frac{n-x}{n}(\frac{x}{2n}f(x+1)+f(x))$$

化简一下：

$$\begin{array}{rl}(\frac{x}{2n^2}+\frac{x(n-x)}{n^2})f(x)-\frac{x}{n}& =\frac{x}{2n}f(1)+\frac{x}{2n}f(x-1)+\frac{x(n-x)}{2n^2}(f(x-1)+f(x+1))\\ \frac{3nx-2x^2}{2n^2}f(x)-\frac{x}{n}& =\frac{x}{2n}f(1)+\frac{x}{2n}f(x-1)+\frac{x(n-x)}{2n^2}(f(x-1)+f(x+1))\\ (3nx-2x^2)f(x)-2nx& =nxf(1)+nxf(x-1)+x(n-x)f(x-1)+x(n-x)f(x+1)\\ f(x+1)& =\frac{(3nx-2x^2)f(x)-(2nx-x^2)f(x-1)+nxf(1)-2nx}{x(n-x)}\\ f(x+1)& =\frac{(3n-2x)f(x)-(2n-x)f(x-1)+nf(1)-2n}{(n-x)}\end{array}$$

发现后面的不好消除。

但我们可以直接钦定 $f(1)=-2$，此时 $f(0)=0$。

所以有：

$$\begin{array}{rl}f(x+1)& =\frac{(3n-2x)f(x)-(2n-x)f(x-1)}{(n-x)}\end{array}$$

直接递推维护就可以做到 $O(n\log mod+m)$ 的复杂度啦。

Code#

https://codeforces.com/contest/1479/submission/286225197。