P11236 「KTSC 2024 R1」水果游戏 题解

很有意思的一道题。

思路#

首先将相邻一样的数合并，每个元素变成一个二元组，表示数与出现次数。

考虑什么时候不能合并。

我们发现假如充分合并后，现在有连续的三个数 $x_1,x_2,x_3$，以及他们各自的出现次数 $y_1,y_2,y_3$。

如果 $x_1>x_2,x_3>x_2$。

我们想要合并这三个，必须要先把 $x_2$ 合并成 $min(x_1,x_3)$。

但是如果做不到的话，那么这三个数就一定不可能合并了。

相当于整个序列从这里断开了。

这样的话，整个序列是一堆单峰序列。

考虑末尾追加一个二元组 $(x,y)$ 会有什么影响：

1. 序列尾部元素与 $x$ 相等。

   累加 $y$ 即可。

2. 序列元素少于两个。

   直接插入即可。

3. 序列尾部大于 $x$, 或尾部大于倒数第二个。

   同样直接插入即可。

4. 除了以上情况，我们就需要一些处理了。

   将末尾与倒数第二个提出来，记为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$。

   首先我们判断能否将 $x_1$ 提升至 $min(x,x_2)$，如果可以，我们就先将其提升，然后再递归插入。

   如果不可以，我们可以插入一个极大值作为分割符，然后将 $x_1$ 的贡献往 $x$ 与 $x_2$ 上累加，再递归插入。

线段树维护即可。

时间复杂度：$O(nv\log n)$。

Code#

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
int a[100010];
struct Node {
  int ns = 0;
  vector<pair<int, int>> cr{};
  inline void init(int x) { vector<pair<int, int>>{{x, 1}}.swap(cr); ns = x; }
  inline void add(pair<int, int> x) {
    if (x.second) ns = max(ns, x.first + __lg(x.second));
    if (cr.size() && cr.back().first == x.first) {
      cr.back().second += x.second;
      if (cr.back().second)
        ns = max(ns, cr.back().first + __lg(cr.back().second));
    }
    else if (cr.size() <= 1)
      cr.push_back(x);
    else if (cr.back().first > x.first)
      cr.push_back(x);
    else if (cr.size() >= 2 && cr.back().first > cr[cr.size() - 2].first)
      cr.push_back(x);
    else {
      auto y = cr.back();
      cr.pop_back();
      auto z = cr.back();
      int d = min(30, min(x.first, z.first) - y.first);
      if ((y.second & (-y.second)) >= (1 << d))
        add({y.first + d, y.second >> d}), add(x);
      else {
        if (__lg(y.second) >= z.first - y.first)
          add({z.first, y.second >> (z.first - y.first)});
        add({1e9, 0});
        if (__lg(y.second) >= x.first - y.first)
          x.second += y.second >> (x.first - y.first);
        add(x);
      }
    }
  }
  inline friend Node operator+(Node a, Node b) {
    Node c = a;
    c.ns = max(b.ns, c.ns);
    for (auto i : b.cr) c.add(i);
    return c;
  }
} ns, d[200010];

inline void build(int p, int l, int r) {
  if (l == r) d[p].init(a[l]);
  else {
    int mid = (l + r) >> 1;
    build(mid<<1, l, mid);
    build(mid<<1|1, mid + 1, r);
    d[p] = d[mid<<1] + d[mid<<1|1];
  }
}
inline void upd(int p, int l, int r, int k) {
  if (l == r) d[p].init(a[l]);
  else {
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (mid >= k) upd(mid<<1, l, mid, k); else upd(mid<<1|1, mid + 1, r, k);
    d[p] = d[mid<<1] + d[mid<<1|1];
  }
}
inline void ask(int p, int l, int r, int L, int R) {
  if (L <= l && r <= R) ns = ns + d[p];
  else {
    int mid = (l + r) >> 1;
    if (L <= mid) ask(mid<<1, l, mid, L, R);
    if (mid <  R) ask(mid<<1|1, mid + 1, r, L, R);
  }
}
void prepare_game(vector<int> A) {
  n = A.size();
  for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] = A[i - 1];
  build(1, 1, n);
}
int play_game(int l, int r) {
  ns.cr.clear();
  ns.ns = 0;
  ns.add({1e9, 0});
  ask(1, 1, n, l + 1, r + 1);
  ns.add({1e9, 0});
  return ns.ns;
}
void update_game(int p, int v) {
  a[p + 1] = v;
  upd(1, 1, n, p + 1);
}