[ARC137D] Prefix XORs 题解

思路#

考虑前缀和时每一位的贡献是什么。

对于一个生成函数 $F(x)$。

对其作 $k$ 次前缀和，函数会变成：

$$(\frac{1}{1-x}{)}^{k}F(x)$$

那么其 $n$ 次项系数：

$$\begin{array}{rl}& =[x^n](\frac{1}{1-x}{)}^{k}F(x)\\ & =[x^n]F(x)(1-x{)}^{-k}\\ & =\sum _{i=0}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-k}{i})(-1{)}^i[x^{n-i}]F(x)\\ & =\sum _{i=0}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+i-1}{i})[x^{n-i}]F(x)\end{array}$$

这样就求出了系数为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+i-1}{i})$。

注意到以上是在二进制每一位考虑。

所以只有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+i-1}{i})mod2=1$ 时才有贡献。

依据 Lucas 定理，当 $i$ 为 $k+i-1$ 子集时，答案为一。

所以最终答案为：

$$an{s}_i=\underset{j=0}{⨁}[j\in (i+j-1)]a_{n-j}$$

我们将 $i$ 集体减一。

$$\begin{array}{rl}an{s}_i& =\underset{j=0}{⨁}[j\in (i+j)]a_{n-j}\\ & =\underset{j=0}{⨁}[j\cap i=\mathrm{\varnothing }]a_{n-j}\end{array}$$

容易发现是一个高维前缀和，直接做即可。

时间复杂度：$O(n\log n)$。

Code#

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, m;
int a[1 << 20];
int b[1 << 20];

int main() {
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
  int k = 1 << 20;
  for (int i = 0; i < k; i++)
    if (i < n) b[i] = a[n - i];
  for (int i = 0; i < 20; i++)
    for (int j = 0; j < k; j++)
      if (j & (1 << i)) b[j] ^= b[j ^ (1 << i)];
  for (int i = 0; i < m; i++)
    cout << b[i ^ (k - 1)] << " \n"[i == m - 1];
}