[ABC222H] Beautiful Binary Tree 题解

第一次写拉格朗日反演。

思路#

考虑如何操作。

发现出根节点外有 $n - 1$ 个点是一。

由于我们只能操作 $n - 1$ 次，相当于每一次操作必须把两个一合并。

一个点最多往上跳两层，所以要求它的父亲或者爷爷是一。

考虑设 $f_{i}$ 表示当前节点为一并且整个子树总和为 $i$ 的方案数， $g_{i}$ 表示当前节点为零并且整个子树总和为 $i$ 的方案数。

考虑递推：

\begin{aligned} (1) & f_{x} & = 2 \times (f_{x - 1} + g_{x - 1}) + \sum_{1 \leq i < x - 1} (f_{i} + g_{i}) (f_{x - 1 - i} + g_{x - 1 - i}) \\ (2) & g_{x} & = 2 \times f_{x} + \sum_{1 \leq i < x} f_{i} f_{x - i} \end{aligned}

发现是卷积形式。

我们不妨用生成函数来表示它们。

\begin{aligned} (3) & F (x) & = x + 2 x (F (x) + G (x)) + x (F (x) + G (x))^{2} \\ (4) & G (x) & = 2 F (x) + F (x)^{2} \end{aligned}

把 $G$ 代入 $F$ 。

\begin{aligned} (5) & F (x) & = x (F (x) + G (x) + 1)^{2} \\ (6) & = x (F (x)^{2} + 3 F (x) + 1)^{2} \end{aligned}

由于我们要求第 $n$ 次项系数，可以用拉格朗日反演提取。

令：

\begin{aligned} (7) & H (F (x)) & = x \\ (8) & = \frac{F (x)}{(F (x)^{2} + 3 F (x) + 1)^{2}} \\ (9) & = \frac{x}{(x^{2} + 3 x + 1)^{2}} \end{aligned}

所以：

\begin{aligned} (10) & [x^{n}] F (x) & = \frac{1}{n} [x^{n - 1}] (\frac{x}{H (x)})^{n} \\ (11) & = \frac{1}{n} [x^{n - 1}] (x^{2} + 3 x + 1)^{2 n} \end{aligned}

然后有两种方法。

第一种直接组合数展开。

\begin{aligned} (12) & [x^{n}] F (x) & = \frac{1}{n} [x^{n - 1}] (x^{2} + 3 x + 1)^{2 n} \\ (13) & = \frac{1}{n} \sum_{i = 0}^{n - 1} [(n - i - 1) mod 2 = 0] 3^{i} (\binom{2 n}{i, \frac{n - i - 1}{2}, 2 n - i - \frac{n - i - 1}{2}}) \end{aligned}

还有第二种方法。

因为这个函数是 D-finite 的，所以也可以求出递推式。

令 $L (x) = (x^{2} + 3 x + 1)^{2 n}$ 。

有：

\begin{aligned} (14) & L^{'} (x) & = (2 x + 3) 2 n (x^{2} + 3 x + 1)^{2 n - 1} \\ (15) & = \frac{(2 x + 3) 2 n L (x)}{x^{2} + 3 x + 1} \\ (16) & (x^{2} + 3 x + 1) L^{'} (x) & = (2 x + 3) 2 n L (x) \end{aligned}

对比系数：

\begin{aligned} (17) & [x^{k}] L^{'} (x) + 3 [x^{k - 1}] L^{'} (x) + [x^{k - 2}] L^{'} (x) & = 6 n L_{k} + 4 n L_{k - 1} \\ (18) & (k + 1) L_{k + 1} + 3 k L_{k} + (k - 1) L_{k - 1} & = 6 n L_{k} + 4 n L_{k - 1} \\ (19) & (k + 1) L_{k + 1} & = (6 n - 3 k) L_{k} + (4 n - k + 1) L_{k - 1} \end{aligned}

其中： $L_{0} = 1, L_{1} = 6 n$ 。

直接递推即可。

时间复杂度： $O (n)$ 。

Code#

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod = 998244353;

int n;
int v[10000010];

int main() {
  cin >> n;
  long long f0 = 1, f1 = 6 * n, f2;
  v[0] = v[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++)
    v[i] = 1ll * (mod - mod / i) * v[mod % i] % mod;
  for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
    f2 = ((6 * n - 3 * i) * f1 + (4 * n - i + 1) * f0) % mod * v[i + 1] % mod;
    f0 = f1;
    f1 = f2;
  }
  f0 = 1ll * f0 * v[n] % mod;
  f1 = 1ll * f1 * v[n] % mod;
  f2 = 1ll * f2 * v[n] % mod;
  cout << (n == 1 ? f0 : (n == 2 ? f1 : f2)) << "\n";
}