[ARC124F] Chance Meeting 题解

容斥，容斥，容斥。

思路#

考虑设 $f_{i,j}$ 为第一次在 $i,j$ 相遇的方案数。

发现答案为：

$$ans=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{f}_{i,j}{f}_{n-i+1,m-j+1}$$

考虑走到 $(i,j)$ 并相遇的方案数：

$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+j+j-3}{i-1,j-1,n-i,j-1})$$

但是这样有可能在前面就相遇了。

我们可以发现，相遇只会在一行发生，所以可以容斥。

有：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f_{i,j}& =(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+j+j-3}{i-1,j-1,n-i,j-1})-\sum _{k<j}{f}_{i,k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2\times j-2\times k}{j-k})\text{(2)}& & =\frac{(n+j+j-3)!}{(i-1)!(j-1)!(n-i)!(j-1)!}-\sum _{k<j}{f}_{i,k}\frac{(j+j-k-k)!}{(j-k)!(j-k)!}\end{array}$$

套路地，令 $f_{i,j}=\frac{g_j}{(i-1)!(n-i)!}$。

有：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& g_j& =\frac{(n+j+j-3)!}{(j-1)!(j-1)!}-\sum _{k<j}{g}_k\frac{(j+j-k-k)!}{(j-k)!(j-k)!}\end{array}$$

那么答案为：

$$\begin{array}{}\text{(4)}& ans& =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{f}_{i,j}{f}_{n-i+1,m-j+1}\text{(5)}& & =\sum _{i=1}^n\frac{1}{(i-1)!(n-i)!(n-i)!(i-1)!}\sum _{j=1}^m{g}_j{g}_{m-j+1}\end{array}$$

分治 ntt 处理即可。

时间复杂度：$O(n{\log }^{2}n)$。

Code#

#include <bits/stdc++.h>
#include "atcoder/convolution"
using namespace std;

const int mod = 998244353;

int n, m;
int f[600010];
int v[600010];
int g[200010];
int h[200010];

inline int power(int x, int y) {
  int res = 1;
  while (y) {
    if (y & 1) res = 1ll * res * x % mod;
    x = 1ll * x * x % mod, y >>= 1;
  }
  return res;
}
inline void init(int n) {
  f[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++) f[i] = 1ll * i * f[i - 1] % mod;
  v[n] = power(f[n], mod - 2);
  for (int i = n; i >= 1; i--) v[i - 1] = 1ll * i * v[i] % mod;
}
inline void del(int&x, int y) {
  x = x - y;
  if (x < 0) x += mod;
}
inline void sol(int L, int R, int l, int r) {
  vector<int> a, b;
  int e = R - l;
  for (int i = l; i <= r; i++) a.push_back(g[i]);
  for (int i = 0; i <= e; i++) b.push_back(h[i]);
  a = atcoder::convolution(a, b);
  for (int i = L; i <= R; i++) {
    del(g[i], a[e - R + i]);
  }
}
inline void cdq(int l, int r) {
  if (l < r) {
    int mid = (l + r) >> 1;
    cdq(l, mid);
    sol(mid + 1, r, l, mid);
    cdq(mid + 1, r);
  }
}

int main() {
  cin >> n >> m;
  init(n + m + m);
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    g[i] = 1ll * f[n + i + i - 3] * v[i - 1] % mod * v[i - 1] % mod;
    h[i] = 1ll * f[i + i] * v[i] % mod * v[i] % mod;
  }
  cdq(1, m);
  int ans1 = 0;
  int ans2 = 0;
  for (int i = 1; i <= m; i++)
    ans1 = (ans1 + 1ll * g[i] * g[m - i + 1]) % mod;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    ans2 = (ans2 + 1ll * v[i - 1] * v[n - i] % mod * v[i - 1] % mod * v[n - i]) % mod;
  cout << 1ll * ans1 * ans2 % mod << "\n";
}