[AGC054D] (ox) 题解

感觉看到交换就应该要想到逆序对。

思路#

一个前置小知识，我们把一个排列用相邻交换复原的最小次数是逆序对数量。

考虑没有 ox 的情况。

我们顺着扫一遍字符串。

把左括号正一，右括号看作负一，当前缀和小于零以后，我们把后面最近的左括号提过来，这样可以构造出交换次数最少的合法括号串。

假如有了 ox 怎么办。

我们可以现忽略 ox 用上面的部分求出交换次数。

考虑剩下的两种次数：

1. o 与 x。

   我们发现我们永远不会交换 o 和 x，因为这样没有意义，当我们把一个 x 移到括号中间时，如果要交换 o 和 x，那这样不如把括号移过来。

2. ox 与括号。

   这一部分我们可以使用动态规划直接求出最优的方案。注意 x 一定得在一对括号中间。

时间复杂度：$O(|S{|}^2)$。

Code#

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int ans;
int d[8080];
int f[8080][8080];
int v1[8080][8080];
int v2[8080][8080];
string s, t;

int main() {
  cin >> s, t = s;
  int num = 0;
  for (int i = 0; i < s.length(); i++) d[i] = i;
  for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
    if (s[i] == ')') num--;
    if (s[i] == '(') num++;
    if (num < 0) {
      if (s[i] == ')') num++;
      if (s[i] == '(') num--;
      int k = 0;
      for (int j = i; j < s.length(); j++) {
        if (s[j] == '(') { k = j; break; }
      }
      for (int j = k; j > i; j--) {
        if (s[j - 1] == '(') ans++;
        if (s[j - 1] == ')') ans++;
        swap(s[j], s[j - 1]);
        swap(d[j], d[j - 1]);
      }
      if (s[i] == ')') num--;
      if (s[i] == '(') num++;
    }
  }
  vector<int> a;
  vector<int> b;
  vector<int> c;
  num = 0;
  for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
    if (s[i] == ')') num--, a.push_back(d[i]), c.push_back(num);
    if (s[i] == '(') num++, a.push_back(d[i]), c.push_back(num);
    if (s[i] == 'o') b.push_back(d[i]);
    if (s[i] == 'x') b.push_back(d[i]);
  }
  for (int j = 0; j < b.size(); j++) {
    v1[j][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= a.size(); i++) {
      v1[j][i] = (b[j] < a[i - 1]) + v1[j][i - 1];
    }
  }
  for (int j = 0; j < a.size(); j++) {
    v2[j][0] = 0;
    for (int i = 1; i <= b.size(); i++) {
      v2[j][i] = (a[j] < b[i - 1]) + v2[j][i - 1];
    }
  }
  for (int i = 0; i <= a.size(); i++)
    for (int j = 0; j <= b.size(); j++)
      f[i][j] = 1e9;
  f[0][0] = 0;
  for (int i = 0; i <= a.size(); i++) {
    for (int j = 0; j <= b.size(); j++) {
      if (i < a.size()) f[i + 1][j] = min(f[i + 1][j], f[i][j] + v2[i][j]);
      if (j < b.size()) {
        if (t[b[j]] == 'o')
          f[i][j + 1] = min(f[i][j + 1], f[i][j] + v1[j][i]);
        if (t[b[j]] == 'x' && (i && c[i - 1]))
          f[i][j + 1] = min(f[i][j + 1], f[i][j] + v1[j][i]);
      }
    }
  }
  cout << ans + f[a.size()][b.size()] << "\n";
}