[ARC062F] AtCoDeerくんとグラフ色塗り 题解

思路#

对于一个点双，我们可以发现：

1. 假如它是一个简单环，那么它只能旋转这一个环，我们可以使用 polya 定理计算。
2. 假如它是多个环的组成，那么它的颜色可以随意调动，任何的情况都可以得到，那么假如说有 $m$ 条边，方案数则为 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+k-1}{k-1})$，我们只考虑每一种颜色的出现次数。

对于其他的边，都可以随意染色。

那么我们直接提出所有点双，统计方案即可。

Code#

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int mod = 1e9 + 7;

int n, m, k, tp, tt, ct, ans = 1;
int p[210], dn[210], lw[210], st[210], vs[210];
int c[210][210];
vector<int> to[210];
vector<int> ot[210];

inline void tarjan(int x, int fa) {
  dn[x] = lw[x] = ++tt, st[++tp] = x;
  for (auto i : to[x]) if (i != fa) {
    if (!dn[i]) {
      tarjan(i, x);
      lw[x] = min(lw[x], lw[i]);
      if (lw[i] >= dn[x]) {
        ot[++ct].push_back(x);
        while (ot[ct].back() != i) ot[ct].push_back(st[tp--]);
      }
    } else lw[x] = min(lw[x], dn[i]);
  }
}
inline int sol(int x) {
  int r = 0;
  for (int i = 1; i <= x; i++) r = (r + p[__gcd(i, x)]) % mod;
  while (r % x != 0) r += mod;
  return r / x % mod;
}

signed main() {
  for (int i = 0; i <= 200; i++) c[i][0] = 1;
  for (int i = 1; i <= 200; i++)
    for (int j = 1; j <= i; j++)
      c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
  cin >> n >> m >> k;
  p[0] = 1;
  for (int i = 1; i <= m; i++) p[i] = p[i - 1] * k % mod;
  for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) {
    cin >> u >> v;
    to[u].push_back(v);
    to[v].push_back(u);
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) if (!dn[i]) tarjan(i, 0);
  for (int i = 1; i <= ct; i++) {
    int ps = 0;
    for (auto j : ot[i]) vs[j] = 1;
    for (auto j : ot[i]) for (auto k : to[j]) ps += vs[k];
    for (auto j : ot[i]) vs[j] = 0;
    ps = ps / 2;
    if (ps == ot[i].size()) ans = ans * sol(ps) % mod;
    else if (ps < ot[i].size()) ans = ans * p[ps] % mod;
    else if (ps > ot[i].size()) ans = ans * c[ps + k - 1][k - 1] % mod;
  }
  cout << ans << "\n";
}