[ARC106F] Figures 题解

生成函数大法好。

思路#

考虑 prufer 序列。

如果 $n$ 个点的度数确定，那么生成树个数为：

$$\frac{(n-2)!}{\prod (d_i-1)!}$$

那么在此题中，$n$ 个点的度数确定，那么方案数为：

$$\frac{(n-2)!}{\prod (d_i-1)!}\prod \frac{a_i!}{(a_i-d_i)!}$$

其中，$\sum d_i=2\times n-2$。

容易发现这是一个卷积形式。

我们可以将每一个点的贡献拿出来，即 $\frac{a_i!}{(a_i-d_i)!(d_i-1)!}$。

那么可以设生成函数：

$$f_i(x)=\sum _{j=1}\frac{a_i!x^j}{(a_i-j)!(j-1)!}$$

有：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f_i(x)& =\sum _{j=1}\frac{a_i!x^j}{(a_i-j)!(j-1)!}\text{(2)}& & =x\sum _{j=0}{a}_i!\frac{x^j}{(a_i-j+1)!j!}\text{(3)}& & =x\sum _{j=0}{a}_i\frac{x^j(a_i-1)!}{(a_i-j+1)!j!}\text{(4)}& & =x\sum _{j=0}{a}_i{x}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_i-1}{j})\text{(5)}& & =a_{i}x\sum _{j=0}{x}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{a_i-1}{j})\text{(6)}& & =a_{i}x(1+x{)}^{a_i-1}\end{array}$$

我们要求的是：

$$\begin{array}{}\text{(7)}& (n-2)![x^{2\times n-2}]\prod _{i=1}^n{a}_{i}x(1+x{)}^{a_i-1}\end{array}$$

这东西也可以推一下：

$$\begin{array}{}\text{(8)}& & =(n-2)![x^{2\times n-2}]\prod _{i=1}^n{a}_{i}x(1+x{)}^{a_i-1}\text{(9)}& & =(n-2)![x^{n-2}]\prod _{i=1}^n{a}_i(1+x{)}^{a_i-1}\text{(10)}& & =(n-2)!\prod _{i=1}^n{a}_i\times [x^{n-2}](1+x{)}^{\sum a_i-n}\text{(11)}& & =(n-2)!\prod _{i=1}^n{a}_i\times (\genfrac{}{}{0ex}{}{\sum a_i-n}{n-2})\text{(12)}& & =\prod _{i=1}^n{a}_i\times \prod _{i=0}^{n-3}(\sum a_i-n-i)\end{array}$$

时间复杂度：$O(n)$。

Code#

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int mod = 998244353;

int n, m, s;
int a[200010];

signed main() {
  cin >> n, s = 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
  for (int i = 1; i <= n; i++) (m += a[i]) %= mod;
  for (int i = 1; i <= n; i++) (s *= a[i]) %= mod;
  for (int i = 0; i <= n - 3; i++) (s *= (m - n - i)) %= mod;
  cout << (s + mod) % mod << "\n";
}