AT_aising2020_f Two Snuke 题解

很好的题。

思路#

首先分析条件。

我们需要满足： $s_{1} < s_{2}$ 等不等关系。

我们不想要处理复杂的不等关系，那么我们可以转化枚举的东西。

令 $s f = s_{1} \times 2, s g = s_{2} - s_{1}$ 。

相对应的，我们会有： $n f, n g, u f, u g, k f, k g, e f, e g$ 。

我们现在的问题就转化为了：

\sum_{s f, s g, n f, n g, u f, u g, k f, k g, e f, e g} s g \times n g \times u g \times k g \times e g

如何处理乘法，一个常见技巧是用分配律拆开，可以知道它的组合意义是每一段中选一个代表的东西。

考虑选一个代表的东西会是什么影响。

你本来的一堆东西，相当于产生了一个分界处，所以它的方案与选两堆是一样的。

那么我们可以再来审视一下这些条件了。

我们要把小于等于 $n$ 个无标号小球放到 $15$ 个有标号的盒子里，可以为空，前 $5$ 个盒子里的小球数量要求是偶数个。

这个怎么做呢？

首先，小于等于 $n$ 个是好处理的。

我们只要再多加一个盒子来放其余的小球就可以了。

偶数怎么处理？

我们可以枚举有多少个奇数个球的盒子，由于除了前五个盒子里必须要是偶数，后面十一个都可能是奇数。

其余的就可以隔板法统计了。

另外最后的细节就是， $s g, n g, u g, k g, e g$ 这 $5$ 个盒子不能为空，这个就只需要在最开始把 $n$ 减五就可以了。

式子是：

\sum_{i = 0}^{11} [(n - i) mod 2 = 0] (\binom{\frac{n - i}{2} + 15}{15}) (\binom{11}{i})

注意， $n$ 是减了五的。

组合数暴力计算即可。

~~复杂度把上面看作常数就是 $O (T)$ 的。~~

Code#

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

const int mod = 1e9 + 7;

inline int power(int x, int y) {
  int res = 1;
  while (y) {
    if (y & 1) res = res * x % mod;
    x = x * x % mod, y /= 2;
  }
  return res;
}
inline int C(int n, int m) {
  int res = 1;
  for (int i = n; i > n - m; i--) res = res * i % mod;
  for (int i = 1; i < m + 1; i++) res = res * power(i, mod - 2) % mod;
  return res;
}
inline void solve() {
  int n, ans = 0;
  cin >> n, n -= 5;
  for (int i = 0; i <= 11; i++) {
    int m = n - i;
    if (m < 0 || m & 1) continue;
    (ans += C(m / 2 + 15, 15) * C(11, i)) %= mod;
  }
  cout << ans << "\n";
}

signed main() {
  int t;
  cin >> t;
  while (t--) solve();
  return 0;
}