[ABC137F] Polynomial Construction 题解

明明有最厉害最好想的插值做法，怎么没有人写呢。

思路#

考虑 $n$ 个点可以确定一个 $n-1$ 次多项式。

如何确定。

令 $l_i(x)=\prod _{j\ne i}\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j)}$。

可以发现这个多项式在 $x=x_i$ 时值为一，在 $x=x_j(j\ne i)$ 时值为零。

那么就有：

$$F(x)=\sum _{i=0}^{i<n}{y}_i{l}_i(x)$$

容易发现这个多项式恰好满足上面的条件，当然，这就是拉格朗日插值。

如何得到这个多项式？

可以先求出：

$$G(x)=\prod (x-x_i)$$

发现：

$$l_i(x)=\frac{G(x)}{(x-x_i)k_i}$$

其它的是一个常数所以和起来写成 $k_i$ 即可。

那么就可以 $O(n^2)$ 求解了。

思路#

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

int mod;

inline int power(int x, int y) {
  int res = 1;
  while (y) {
    if (y & 1) res = res * x % mod;
    x = x * x % mod, y /= 2;
  }
  return res;
}

inline vector<int> lagrange(const vector<int> &x, const vector<int> &y) {
  int n = x.size();
  vector<int> a(n + 1, 0), f(n, 0);
  a[0] = 1;
  auto add = [&](int x) {
    for (int j = n; j >= 1; j--)
      a[j] = (a[j - 1] - a[j] * x) % mod;
    a[0] = -a[0] * x % mod;
  };
  for (int i = 0; i < n; i++) add(x[i]);
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    if (x[i] == 0) {
      for (int j = 0; j <= n; j++) a[j] = a[j + 1];
      a[n] = 0;
    } else {
      int iv = power(x[i], mod - 2);
      a[0] = -a[0] * iv % mod;
      for (int j = 1; j <= n; j++) {
        a[j] = a[j] - a[j - 1];
        a[j] = -a[j] * iv % mod;
      }
    }
    int s = 1;
    for (int j = 0; j < n; j++)
      if (i != j) s = s * (x[i] - x[j]) % mod;
    s = power(s, mod - 2) * y[i] % mod;
    for (int j = 0; j < n; j++)
      f[j] = (f[j] + a[j] * s) % mod;
    add(x[i]);
  }
  for (int i = 0; i < n; i++) f[i] = (f[i] % mod + mod) % mod;
  return f;
}

signed main() {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);

  vector<int> a, b, f;

  cin >> mod;
  for (int i = 1, x; i <= mod; i++) {
    cin >> x;
    a.push_back(i - 1);
    b.push_back(x);
  }
  f = lagrange(a, b);
  for (int i = 0; i < mod; i++)
    cout << f[i] << " \n"[i == mod - 1];

  return 0;
}