P5871 [SEERC2018] Inversion 题解

一眼发现这个图是一个弦图。

但是放在弦图上依然不会做。

再看一看，发现这个图的性质比弦图还要强。

思路

首先将原排列求出来。

性质一：

假如 \(\{v_1,v_2,\cdots,v_k\}\) 是一个独立集，那么在原排列中一定是一个递增序列。

证明：假如不是递增序列，那么其中一定会有逆序对，那么就会有连边。

性质二：

独立集 \(\{v_1,v_2,\cdots,v_k\}\) 是一个支配集，当且仅当独立集是极大独立集。

证明：

1. 若集合不是极大独立集，那么一定可以加点，则这个点没有被覆盖，所以不是支配集。
2. 若集合是极大独立集，那么没有可以加的点，也就是所有点都没覆盖率，则是一个支配集。

所以在原排列上我们只需要求出所有极大递增序列。

dp 求解即可。

时间复杂度：\(O(n^2)\)。

Code

/*
  ! 以渺小启程，以伟大结束。
  ! Created: 2024/06/29 21:40:04
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define fro(i, x, y) for (int i = (x); i <= (y); i++)
#define pre(i, x, y) for (int i = (x); i >= (y); i--)

const int N = 110;

int n, m, p[N], v[N], vs[N];
long long ans, dp[N];
vector<int> to[N];

signed main() {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n >> m;
  fro(i, 1, m) {
    int x, y;
    cin >> x >> y;
    to[x].push_back(y);
    to[y].push_back(x);
  }
  fro(i, 1, n) {
    p[i] = 1;
    for (auto j : to[i]) {
      while (v[p[i]]) p[i]++;
      if (j > i) p[i]++;
    }
    while (v[p[i]]) p[i]++;
    v[p[i]] = 1;
  }
  dp[1] = 1;
  fro(i, 2, n) {
    int mi = 1e9;
    fro(j, 1, i - 1) mi = min(mi, p[j]);
    if (mi > p[i]) {
      dp[i] = 1;
    } else {
      int las = -1;
      pre(j, i - 1, 1) {
        if (p[j] < p[i]) {
          if (las == -1) {
            las = j;
            dp[i] = dp[i] + dp[j], vs[j] = 1;
          } else if (p[j] > p[las]) {
            las = j;
            dp[i] = dp[i] + dp[j], vs[j] = 1;
          }
        }
      }
    }
  }
  fro(i, 1, n) if (vs[i] == 0) ans += dp[i];
  cout << ans << "\n";
  return 0;
}