尽管如此，弦图依旧强大

一些定义#

最小染色：用最少的颜色给点染色使得所有边连接的两点颜色不同。

色数：最小染色的颜色数。

团数：最大团的点数。

弦：连接环中不相邻两点的边。

弦图：任意长度大于 $3$ 的环都有一个弦的图称为弦图。

点割集：对于图 $G$ 上的两点 $u,v$，定义这两点间的点割集为满足删除这一集合后，$u,v$ 两点之间不连通。

单纯点：若点 $x$ 与他的所有相邻点的导出子图是一个团，则这个点是单纯点。

完美消除序列：令 $n=|V|$，完美消除序列 $v_1,v_2,\cdots ,v_n$ 为 $1,2,\cdots ,n$ 的一个排列，满足 $v_i$ 在 $\{v_i,v_{i+1},\cdots ,v_n\}$ 的导出子图中为单纯点。

一些性质#

性质一#

团数 $\le$ 色数。

证明：
直接对最大团染不同颜色即可。

推论一#

在弦图中：团数 $=$ 色数。

性质二#

最大独立集数 $\le$ 最小团覆盖数。

证明：
每个团中至多选择一个点。

推论二#

在弦图中：最大独立集数 $=$ 最小团覆盖数。

性质三#

弦图的任意导出子图一定是弦图。

证明：
如果弦图有导出子图不是弦图，说明在这个导出子图上存在大于 $3$ 的无弦环，那么原图也不是弦图，矛盾。

性质四#

任何一个弦图都至少有一个单纯点，不是完全图的弦图至少有两个不相邻的单纯点。

性质五#

一个无向图是弦图当且仅当其有一个完美消除序列。

求法#

求出无向图的完美消除序列#

最大势算法（MCS）是一种可以在 $O(n+m)$ 的时间复杂度内求出无向图的完美消除序列的方法。

思路#

逆序给结点编号，即按从 $n$ 到 $1$ 的顺序给点标号。

设 $labe{l}_x$ 表示第 $x$ 个点与多少个已经标号的点相邻。

每次选择 $label$ 值最大的未标号结点进行标号即可。

时间复杂度：$O(n+m)$。

Code#

inline void mcs() {
  fro(i, 1, n) to[0].push_back(i);
  int sum = 0;
  pre(pos, n, 1) {
    int x = 0, y;
    while (!x) {
      while (to[sum].empty() == 0 && !x) {
        y = to[sum].back();
        if (!rk[y] && lb[y] == sum) x = y;
        to[sum].pop_back();
      }
      if(!x) sum--;
    }
    rk[x] = pos, id[pos] = x;
    for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt)
        lb[e[i].to]++, to[lb[e[i].to]].push_back(e[i].to), sum = max(sum, lb[e[i].to]);
  }
}

此算法可以证明，若无向图为弦图，则求出的序列一定是完美消除序列。

同样，若求出的序列为完美消除序列，则无向图一定是弦图。

判断一个序列是否是完美消除序列#

根据完美消除序列的定义，设 $v_i\mathrm{在}{v}_i,v_{i+1},\dots ,v_n$ 中相邻的点从小到大为 $\{v_{c_1},v_{c_2},\dots ,v_{c_k}\}$。

则只需判断 $v_{c_1}$ 与其他点是否直接连通即可。

时间复杂度 $O(n+m)$。

挑战 NPC#

各种不可做的图论问题在弦图上通通可以线性计算。

弦图实在是太厉害了。

求极大团#

令 $N(x)$ 为满足与 $x$ 相邻且在完美消除序列上的 $x$ 之后的点集。

则弦图的极大团只有可能为为 $\{x\}+N(x)$。

求最大团#

将所有的极大团取最大值即可。

也就是：$\underset{i=1}{\overset{n}{max}}labl{e}_i+1$。

求色数#

由于色数 $=$ 团数，所以可以直接求最大团得到色数。

若需要方案。

可以在完美消除序列上从后往前染色，每个点染能染的最小颜色即可。

求最大独立集#

完美消除序列从前往后，选择所有没有与已经选择的点有直接连边的点。

求最小团覆盖#

设最大独立集为 $\{v_1,v_2,\dots ,v_t\}$，则团的集合 $\{\{v_1+N(v_1)\},\{v_2+N(v_2)\},\dots ,\{v_t+N(v_t)\}\}$ 为图的最小团覆盖。