P6261 [ICPC2019 WF] Traffic Blights 题解

思路

考虑题目要求的是什么。

假设 \(p_i\) 代表通过前 \(i\) 个红绿灯的概率。

那么我们的答案即为 \(p_i-p_{i-1}\)。

不妨设 \(w_i=r_i+g_i\)。

我们的限制条件类似：

\[t\not \equiv a_i\pmod w_i \]

那么所有红绿灯会形成周期 \(\operatorname{lcm}(w_1,w_2,\cdots,w_n)\)。

由于 \(2019!\) 肯定是这个数的倍数。

所以我们只需要算这个周期内的概率。

考虑一种特殊情况。

假如任意 \(\gcd(w_i,w_j)=1\)，也就是 \(w_i\) 全部互质的情况下。

此时 \(\operatorname{lcm}(w_1,w_2,\cdots,w_n)=\prod w_i\)。

我们的 \(t\) 在每一个模 \(w_i\) 都可以取任意的值。

也就是每个红绿灯的概率是独立的。

总概率只需要将每个的概率相乘就可以得到。

当 \(w_i\) 不互质怎么办。

我们可以让 \(t\) 有一些特殊性质。

我们设定大模数 \(I\)，令 \(t=k\times I + b~(b<I)\)。

那么我们的每个红绿灯就不再是每 \(w_i\) 一轮了。

添加了 \(t\) 的限制后，周期变为了 \(\operatorname{lcm}(I,w_i)\)。

在我们枚举 \(b\) 的时候，周期还会平均分配到每一种上即 \(\frac{lcm(I,w_i)}{I}\)。

考虑 \(\frac{lcm(I,w_i)}{I}=\frac{w_i}{\gcd(I,w_i)}\)。

我们可以让变换后的数互质。

想要做到这一点，\(I\) 至少得是 \(2^6\times 3^4\times 5^2\times 7^2=6350400\)。

复杂度为 \(O(6350400\times n\times w_i)\)。

这肯定是接受不了的。

但是我们还可以做到的条件是什么。

假如一组数中，两两都互为倍数，且组与组之间都互质。

这是的概率在组之间也是相对独立的。

而组内的概率也只需要把小的补大就可以了。

最简单的分组就是把 \(w_i\) 保留成质数的幂。

那么 \(I\) 就只需要是 \(2^3\times 3^2\times 5\times 7=2520\) 即可。

时间复杂度为 \(O(2520\times n\times w_i)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 510;
const int M = 110;
const int I = 2520;

int n, x[N], r[N], g[N], w[N];
int v[N][M];
int f[M][M << 3];
double p[N];

inline auto mod(int x, int y) { return (x % y + y) % y; }
inline void sol(int x) {
  p[0] += 1;
  double res = 1;
  memset(f, 0, sizeof f);
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    int up = 0, dw = 0, d = g[i], t = r[i];
    for (int j = 0; j < d; j++)
      for (int k = 0; k < t / d; k++) {
        if (!f[t][j + k * d]) {
          dw++;
          if (v[i][(j * I + x) % w[i]] == 1) up++;
          if (v[i][(j * I + x) % w[i]] == 0) f[t][j + k * d] = 1;
        }
      }
    if (!dw) break;
    p[i] += (res = res * up / dw);
  }
}

int main() {
  cin >> n;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> x[i] >> r[i] >> g[i], w[i] = r[i] + g[i];
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    for (int j = r[i]; j < w[i]; j++) v[i][mod(j - x[i], w[i])] = 1;
  for (int i = 1; i <= n; i++) g[i] = w[i] / __gcd(I, w[i]);
  for (int i = 1; i <= n; i++) r[i] = (g[i] == 2 || g[i] == 4) ? 8 : g[i] == 3 ? 9 : g[i];
  for (int i = 0; i <  I; i++) sol(i);
  for (int i = 0; i <= n; i++) p[i] /= I;
  for (int i = 1; i <= n + 1; i++) printf("%.9lf\n", p[i - 1] - p[i]);
  return 0;
}