我们仍未知道那天所看见的求和法的名字

The Method of Snake Oil#

进行组合求和的蛇油法。

1. 确定求和所依赖的自由变量，例如 $n$。为您正在处理的求和命名；称之为 $f_n$。
2. 让 $F(x)$ 成为 $f(n)$ 的生成函数，即您想要求和的和。
3. 将和乘以 $x^n$，然后对 $n$ 求和。您的生成函数现在表示为对 $n$ 的双重求和，以及对任何首先用作虚拟求和变量的变量的双重求和。
4. 交换您现在正在查看的两个求和的顺序，并以简单的闭式执行内部求和。为此，拥有一个已知和的系列目录会很有帮助。
5. 尝试识别答案的生成函数的系数，因为这些系数就是你想要找到的。

以上来自谷歌翻译。

具体来说就是一个组合数求和的一种套路方法。

基本的#

需要记住。

$$\begin{array}{rl}\sum _n(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n})x^n& =(1+x{)}^m\\ \sum _n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})x^n& =\frac{x^m}{(1-x{)}^{m+1}}\\ \sum _n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+m}{m})x^n& =\frac{1}{(1-x{)}^{m+1}}\\ \sum _n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})\frac{1}{1+n}{x}^n& =\frac{1}{2x}(1-\sqrt{1-4x})& (\mathrm{卡}\mathrm{特}\mathrm{兰}\mathrm{数})\end{array}$$

例一#

给定 $n$，求：

$$\begin{array}{r}\sum _{k\le 0}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n-k})\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}F(x)& =\sum _n{x}^n\sum _{k\le 0}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n-k})\\ & =\sum _{k\le 0}\sum _n{x}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n-k})\\ & =\sum _{k\le 0}{x}^k\sum _n{x}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{n-k})\\ & =\sum _{k\le 0}{x}^k\sum _r{x}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{r})\\ & =\sum _{k\le 0}{x}^k(1+x{)}^k\\ & =\sum _{k\le 0}(x+x^2{)}^k\\ & =\frac{1}{1-x-x^2}\end{array}$$

例二#

给定 $n,m$，求：

$$\begin{array}{r}\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{m+2k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\frac{(-1{)}^k}{k+1}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}F(x)& =\sum _n{x}^n\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{m+2k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\frac{(-1{)}^k}{k+1}\\ & =\sum _k\sum _n{x}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{m+2k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\frac{(-1{)}^k}{k+1}\\ & =\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\frac{(-1{)}^k}{k+1}\sum _n{x}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{m+2k})\\ & =\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\frac{(-1{)}^k}{k+1}{x}^{-k}\sum _n{x}^{n+k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{m+2k})\\ & =\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\frac{(-1{)}^k}{k+1}{x}^{-k}\sum _r{x}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{m+2k})\\ & =\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\frac{(-1{)}^k}{k+1}{x}^{-k}\frac{x^{m+2k}}{(1-x{)}^{m+2k+1}}\\ & =\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\frac{(-1{)}^k}{k+1}\frac{x^{m+k}}{(1-x{)}^{m+2k+1}}\\ & =\frac{x^m}{(1-x{)}^{m+1}}\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\frac{(-1{)}^k}{k+1}\frac{x^k}{(1-x{)}^{2k}}\\ & =\frac{x^m}{(1-x{)}^{m+1}}\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2k}{k})\frac{1}{k+1}(\frac{-x}{x^2-2x+1}{)}^k\\ & =\frac{x^m}{(1-x{)}^{m+1}}\frac{x^2-2x+1}{-2x}(1-\sqrt{1-4\frac{-x}{x^2-2x+1}})\\ & =\frac{x^{m-1}}{-2(1-x{)}^{m-1}}(1-\sqrt{1-4\frac{-x}{x^2-2x+1}})\\ & =\frac{x^{m-1}}{-2(1-x{)}^{m-1}}(1-\frac{1+x}{1-x})\\ & =\frac{x^m}{(1-x{)}^m}\end{array}$$

其中：

$$\frac{x^m}{(1-x{)}^m}[x^n]=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1})$$

例三#

给定 $y$，求：

$$f_n=\sum _{k\le \frac{n}{2}}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k})y^{n-2k}$$

的更简单的封闭形式。

$$\begin{array}{rl}F(x)& =\sum _n{x}^n\sum _{k\le \frac{n}{2}}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k})y^{n-2k}\\ & =\sum _k\sum _{n\ge 2k}{x}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k})y^{n-2k}\\ & =\sum _k(-1{)}^k{y}^{-k}{x}^k\sum _{n\ge 2k}(xy{)}^{n-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k}{k})\\ & =\sum _k(-1{)}^k{y}^{-k}{x}^k\sum _r(xy{)}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k})\\ & =\sum _k(-1{)}^k{y}^{-k}{x}^k\frac{(xy{)}^k}{(1-(xy{)}^{k+1})}\\ & =\frac{1}{1-xy}\sum _k(\frac{-x^2}{1-xy}{)}^k\\ & =\frac{1}{1-xy}\frac{1}{1+\frac{x^2}{1-xy}}\\ & =\frac{1}{1-xy+x^2}\end{array}$$

例四#

给定 $n$，求：

$$\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{2k})2^{n-k}$$

$$\begin{array}{rl}F(x)& =\sum _n{x}^n\sum _k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{2k})2^{n-k}\\ & =\sum _k\sum _n{x}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{2k})2^{n-k}\\ & =\sum _k{2}^{-2k}{x}^{-k}\sum _n(2x{)}^{n+k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k}{2k})\\ & =\sum _k(4x{)}^{-k}\sum _r(2x{)}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{2k})\\ & =\sum _k(4x{)}^{-k}\frac{(2x{)}^{2k}}{(1-2x{)}^{2k+1}}\\ & =\sum _k\frac{x^k}{(1-2x{)}^{2k+1}}\\ & =\frac{1}{1-2x}\sum _k(\frac{x}{(1-2x{)}^2}{)}^k\\ & =\frac{1}{1-2x}\frac{1}{1-\frac{x}{(1-2x{)}^2}}\\ & =\frac{1-2x}{4x^2-5x+1}\end{array}$$

所以有递推式：

$$\begin{array}{rl}{f}_0& =1\\ f_1& =3\\ f_n& =5f_{n-1}-4f_{n-2}\end{array}$$

使用范围#

Snake Oil 方法的成功取决于给出一个要计算的和，其中有一个自由变量只出现在一个地方。

然后，在交换求和的顺序后，人们会找到一个基本幂级数来求和。

尽管通过添加花招可能会在一定程度上降低该方法的魅力，但必须指出，在许多重要情况下，这种范围限制很容易克服。

这是因为经常发生这样的情况：

当呈现一个具有重复多次的自由变量的身份时，该身份变成了更一般身份的一个特例，其中自由变量的每次重复出现都被不同的自由变量所取代。

在放弃对某个给定问题的方法之前，应该探索这种可能性。

这可以通过 Snake Oil 方法轻松评估。

身份主题的特点是，证明特殊情况通常比证明一般定理更难。

自由变量的多次出现通常暗示人们应该尝试寻找合适的概括。

以上来自谷歌翻译。

具体来说，当自由变量多次出现的时候，我们可以使用更多的变量代替自由变量的出现，也就是用更加一般的情况代替特殊情况。