P10553 [ICPC2024 Xi'an I] Guess The Tree 题解

挺有意思的题。

思路

考虑一个比较自然的做法。

我们每次对于一棵树，我们将它的某一条链抽出来。

这样，我们只需要知道这颗树的所有节点与链底的 \(\text{lca}\)，就可以知道它是属于这条链上哪一个节点的下面。

然后就可以递归处理。

由于交互库不是自适应的。

我们可能可以想到随机一个点。

求出这个点与整颗树的 \(\text{lca}\)。

求出 \(\text{lca}\) 之后，我们一定可以知道这个节点一直到根的链是哪些点，以及他们的父子关系，这个有很多求法，我采用的是按子树大小排序。

这样，我们就已经得到了一个比较优秀的做法。

精细实现后可以做到 \(4700\sim 5000\) 次操作。

但是这个还过不了，因为它的操作次数过于随机，经常会变成 \(4900\sim 5000\)。

我们需要更加好的做法。

考虑什么时候对树的划分最为完全。

一定是一个根到叶子的链可以达到最优的状态。

那么我们不妨将开始随机的点往下跳几步。

具体的：

• 开始随机一个点 \(x\)。
• 对于现在在的点 \(x\)，我们遍历到了 \(i\)。
• 求 \(\text{lca}(x,i)\)。
• 若 \(\text{lca}(x,i)=x\)，那么让 \(x\rightarrow i\)，然后继续遍历。
• 否则直接继续遍历。

这样遍历完所有节点后，一定到了一个叶子节点。

但是你写完之后，会发现你的操作次数变成了 \(5000\sim 6000\)。

思考一下问题在哪里。

我们在往下跳的过程中使用了过多的冗余操作。

我们想要把这些操作也用上。

考虑：

若 \(x\) 为 \(y\) 的子树内一点，\(z\) 为 \(y\) 的子树外一点，那么 \(\text{lca}(y,z)=\text{lca}(x,z)\)。

所以，我们在不断往下跳的过程中，\(\text{lca}\) 其实是同样可以往下继承的。

这样就可以在恰好 \(siz-1\) 次操作找到叶子，并求出 \(\text{lca}\)（随机没用了）。

然后你的操作次数就变成了定值，这个定值基于你的实现。

\(10\) 层是可以做到 \(4608\) 或 \(4480\)（特判三个点）。

复杂度基于实现。

Code

这份代码是 \(4480\) 的。

/*
  ! 如果没有天赋，那就一直重复
  ! Created: 2024/06/05 09:10:14
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define x first
#define y second
// #define int long long
#define mp(x, y) make_pair(x, y)
#define eb(...) emplace_back(__VA_ARGS__)
#define fro(i, x, y) for (int i = (x); i <= (y); i++)
#define pre(i, x, y) for (int i = (x); i >= (y); i--)
inline void JYFILE19();

using i64 = long long;
using PII = pair<int, int>;

bool ST;
const int N = 1100;
const int mod = 998244353;

int n, m, fa[N], sz[N], mp[N][N];
vector<int> to[N];

inline int lca(int x, int y) {
  if (mp[x][y]) return mp[x][y];
  cout << "? " << x << " " << y << endl;
  cin >> mp[x][y];
  return mp[y][x] = mp[x][y];
}
inline void upd(int x, int y, int k) {
  if (mp[x][y]) return;
  mp[x][y] = mp[y][x] = k;
}
inline auto sol(vector<int> all, int las = 0) {
  if (all.size() == 0) return 0;
  if (all.size() == 1) return all[0];
  if (all.size() == 2) return fa[all[0]] = las, all[1];
  if (all.size() == 3) {
    int x = lca(all[0], all[1]);
    for (auto i : all) if (i != x) fa[i] = x;
    return x;
  }
  int x = all[0]; vector<int> res;
  for (auto i : all) {
    if (lca(i, x) == x) {
      for (auto j : all) {
        if (i == j) break;
        upd(i, j, lca(x, j));
      }
      x = i;
    }
  }
  for (auto i : all) {
    sz[lca(i, x)]++;
    res.eb(lca(i, x));
  }
  sort(res.begin(), res.end(), [&](int x, int y) {
    return sz[x] < sz[y];
  });
  res.erase(unique(res.begin(), res.end()), res.end());
  for (int i = 0; i < res.size() - 1; i++)
    fa[res[i]] = res[i + 1];
  for (auto i : all) {
    for (auto j : res) if (i == j) goto ed;
    if (lca(i, x) != i) to[lca(i, x)].eb(i);
    ed:;
  }
  for (auto i : res) {
    auto nt = to[i];
    to[i].clear();
    auto x = sol(nt, i);
    if (x != i) fa[x] = i;
  }
  return res.back();
}

signed main() {
  JYFILE19();
  cin >> n, n = (1 << n) - 1;
  vector<int> all;
  fill(fa + 1, fa + n + 1, -1);
  fro(i, 1, n) all.eb(i), mp[i][i] = i;
  sol(all);
  cout << "! ";
  fro(i, 1, n) cout << fa[i] << " ";
  cout << endl;
  return 0;
}

bool ED;
inline void JYFILE19() {
  // freopen("", "r", stdin);
  // freopen("", "w", stdout);
  srand(random_device{}());
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  double MIB = fabs((&ED - &ST) / 1048576.), LIM = 32;
  // cerr << "MEMORY: " << MIB << endl, assert(MIB <= LIM);
}