[AGC030D] Inversion Sum 题解

很好的一道题。

思路

由于 \(n\) 较小。

我们可以枚举位置 \((i,j)\) 统计逆序对。

由于每次交换 \((x,y)\) 只会影响与 \(x,y\) 有关的逆序对。

所以我们可以在修改的时候暴力修改。

但是这样有一个问题。

就是我们统计总和的时候，其他项应该需要乘二。

我们可能可以想到一些技巧性的方法比如整体打标记，给特殊项除二。

考虑我们实际统计的是什么。

是概率！

我们可以统计每一个逆序对出现的概率。

在最后面给答案乘上 \(2^m\) 就是期望。

这也是期望与概率的互转。

如何 dp。

设 \(f1_{i,j}\) 表示 \(a_i<a_j\) 的概率，\(f2_{i,j}\) 表示 \(a_i>a_j\) 的概率。

转移比较简单，读者可以自行思考。

时间复杂度：\(O(n(n+q))\)。

这道题其实有一个概率版本，CF258D。

Code

/*
  ! Though life is hard, I want it to be boiling.
  ! Created: 2024/04/10 09:10:38
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define x first
#define y second
// #define int long long
#define mp(x, y) make_pair(x, y)
#define eb(...) emplace_back(__VA_ARGS__)
#define fro(i, x, y) for (int i = (x); i <= (y); i++)
#define pre(i, x, y) for (int i = (x); i >= (y); i--)
inline void JYFILE19();

typedef long long i64;
typedef pair<int, int> PII;

bool ST;
const int N = 3010;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inv = 500000004;

i64 n, m, a[N], f1[N][N], f2[N][N];

signed main() {
  JYFILE19();
  cin >> n >> m;
  fro(i, 1, n) cin >> a[i];
  fro(i, 1, n) fro(j, i + 1, n) f1[i][j] = (a[i] < a[j]);
  fro(i, 1, n) fro(j, i + 1, n) f2[i][j] = (a[i] > a[j]);
  fro(i, 1, m) {
    int l, r;
    cin >> l >> r;
    if (l > r) swap(l, r);
    vector<int> fl1(n + 1);
    vector<int> fr1(n + 1);
    vector<int> fl2(n + 1);
    vector<int> fr2(n + 1);
    fro(j, 1, n) {
      if (j == l) continue;
      if (j < l) {
        fl1[j] = f1[j][r], fl2[j] = f2[j][r];
      } else if (j < r) {
        fl1[j] = f2[j][r], fl2[j] = f1[j][r];
      } else if (j > r) {
        fl1[j] = f1[r][j], fl2[j] = f2[r][j];
      }
    }
    fro(j, 1, n) {
      if (j == r) continue;
      if (j > r) {
        fr1[j] = f1[l][j], fr2[j] = f2[l][j];
      } else if (j > l) {
        fr1[j] = f2[l][j], fr2[j] = f1[l][j];
      } else if (j < l) {
        fr1[j] = f1[j][l], fr2[j] = f2[j][l];
      }
    }
    fl1[r] = f2[l][r], fl2[r] = f1[l][r];
    fro(j, 1, n) {
      if (j < r && j != l) f1[j][r] = (fr1[j] + f1[j][r]) % mod, f2[j][r] = (fr2[j] + f2[j][r]) % mod;
      if (j > r) f1[r][j] = (fr1[j] + f1[r][j]) % mod, f2[r][j] = (fr2[j] + f2[r][j]) % mod;
      if (j < l) f1[j][l] = (fl1[j] + f1[j][l]) % mod, f2[j][l] = (fl2[j] + f2[j][l]) % mod;
      if (j > l && j != r) f1[l][j] = (fl1[j] + f1[l][j]) % mod, f2[l][j] = (fl2[j] + f2[l][j]) % mod;
    }
    f1[l][r] = (fl1[r] + f1[l][r]) % mod;
    f2[l][r] = (fl2[r] + f2[l][r]) % mod;
  }
  int ans = 0;
  fro(i, 1, n) fro(j, i + 1, n) (ans += f2[i][j]) %= mod;
  cout << ans << "\n";
  return 0;
}

bool ED;
inline void JYFILE19() {
  // freopen("", "r", stdin);
  // freopen("", "w", stdout);
  srand(random_device{}());
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  double MIB = fabs((&ED-&ST)/1048576.), LIM = 1024;
  cerr << "MEMORY: " << MIB << endl, assert(MIB<=LIM);
}