[AGC029F] Construction of a tree 题解

很厉害的题。

思路

考虑先随意钦定一个根。

然后每一个点集都需要贡献树上的一条边。

这条边一定是某个点连向自己父亲的一条边。

先跑一个二分图匹配。

将某个点集向自己内部的所有点连边（把根剔除）。

如果匹配数不为 \(n-1\)，那么很显然是无解的。

如何得到一个方案。

我们使用 bfs。

• 最初，将根丢入队列。
• 提出此时的队头，遍历所有包含对头的点集。
• 若此时这个点集的匹配点没有被连边，那么连一条这个点到对头的边，并把它放入队列内部。

若最终连的边没有 \(n-1\) 条则无解。

如何证明上述构造。

考虑可以构造的一个必要条件。

无论我们钦定哪一个点为根，我们的二分图匹配数一定是 \(n-1\)。

所以可以使用霍尔定理。

对于点集 \(\{E_1,E_2,\cdots,E_{n-1}\}\)。

设 \(T\) 为其中的一个子集。

那么 \(|F(T)|\ge|T|+1\)，其中 \(F(T)\) 为 \(T\) 集合内所有集合的并集。

其实这个条件同样也是一个充分条件。

考虑我们的构造过程。

在我们的已经连边的点内，他们对应的点集的并始终会比已经连边的点的个数至少多一。

所以我们的构造过程就可以保证有解的情况下一定可以构造出一组解。

时间复杂度 \(O(m\sqrt n)\)。

这道题出题人一点素质没有把 isap 卡掉了。

Code

/*
  ! Though life is hard, I want it to be boiling.
  ! Created: 2024/04/09 21:53:39
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define x first
#define y second
// #define int long long
#define mp(x, y) make_pair(x, y)
#define eb(...) emplace_back(__VA_ARGS__)
#define fro(i, x, y) for (int i = (x); i <= (y); i++)
#define pre(i, x, y) for (int i = (x); i >= (y); i--)
inline void JYFILE19();

typedef long long i64;
typedef pair<int, int> PII;

bool ST;
const int N = 1e6 + 10;
const int mod = 998244353;

int n, m, s, t, ct = 1, mflow;
int p[N], dep[N], gap[N], cur[N], head[N];
vector<int> to[N];
struct edge {
  int to, nxt, val;
} e[N * 2];

inline void add(int x, int y, int z) {
  e[++ct] = {y, head[x], z}, head[x] = ct;
  e[++ct] = {x, head[y], 0}, head[y] = ct;
}
inline auto bfs() {
  fill(dep + 1, dep + t + 1, 0);
  queue<int> q; q.push(s), dep[s] = 1;
  while (q.empty() == 0) {
    int x = q.front(); q.pop();
    for (int i = head[x]; i; i = e[i].nxt) {
      if (!e[i].val) continue;
      if (dep[e[i].to] == 0) {
        dep[e[i].to] = dep[x] + 1;
        q.push(e[i].to);
      }
    }
  }
  return dep[t] != 0;
}
inline auto dfs(int now, int flow) {
  if (now == t) {
    return mflow += flow, flow;
  }
  int used = 0;
  for (int&i = cur[now]; i; i = e[i].nxt) {
    if (e[i].val && dep[e[i].to] == dep[now] + 1) {
      int x = dfs(e[i].to, min(e[i].val, flow - used));
      e[i].val -= x, e[i ^ 1].val += x, used += x;
      if (used == flow) return used;
    }
  }
  return used;
}
inline void dinic() {
  while (bfs()) {
    copy(head + 1, head + t + 1, cur + 1);
    while (dfs(s, 1e9));
  }
}

signed main() {
  JYFILE19();
  cin >> n;
  s = 2 * n - 1, t = s + 1;
  fro(i, 1, n - 1) {
    int m; cin >> m;
    add(s, i, 1);
    fro(j, 1, m) {
      int x;
      cin >> x, to[x].eb(i);
      add(i, x + n - 1, 1);
    }
  }
  fro(i, 1, n - 1) add(i + n - 1, t, 1);
  dinic();
  queue<int> q;
  vector<PII> ans;
  ans.resize(n), q.push(n);
  fro(i, 1, n - 1) {
    for (int j = head[i]; j; j = e[j].nxt) {
      if (e[j].val == 0 && e[j].to < s) {
        p[i] = e[j].to - n + 1;
        break;
      }
    }
  }
  while (q.empty() == 0) {
    int x = q.front(); q.pop(), m++;
    for (auto i : to[x]) {
      if (p[i]) {
        ans[i] = mp(x, p[i]);
        q.push(p[i]), p[i] = 0;
      }
    }
  }
  if (m < n || mflow < n - 1) {
    cout << "-1\n";
    return 0;
  }
  for (auto i : ans) if (i.x) cout << i.x << " " << i.y << "\n";
  return 0;
}

bool ED;
inline void JYFILE19() {
  // freopen("", "r", stdin);
  // freopen("", "w", stdout);
  srand(random_device{}());
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  double MIB = fabs((&ED-&ST)/1048576.), LIM = 1024;
  cerr << "MEMORY: " << MIB << endl, assert(MIB<=LIM);
}