P10064 [SNOI2024] 公交线路 题解

非常好题目。

思路#

可以发现限制最严的一定是两个叶子的联通性。

我们不妨把一个叶子向外起到联通性作用的路径称为有用的路径。

也就是这个叶子走这条路径一定可以两步以内到达任意点。

这个路径集合有什么作用呢。

有一个性质：整个集合的路径的交最终会形成一个连通块。

那么我们就可以进行求解方案数。

考虑容斥。

我们设 $d{p}_{1,i}$ 为联通块内强制有 $i$ 这个点，设 $d{p}_{2,i}$ 为联通块内强制有 $i$ 这条边。

那么：

$$ans=\sum d{p}_{1,i}-\sum d{p}_{2,i}$$

如何求解？

首先考虑边的情况。

我们可以设 $f_i$ 为至少有 $i$ 个叶子不与这条边联通，$s{z}_i$ 表示 $i$ 的子树大小，$y{z}_i$ 表示 $i$ 的叶子数量。

那么：

$$f_{i+j}=\sum _{i=0}^{y{z}_x}{C}_{y{z}_x}^i{2}^{i\times (s{z}_x-1)-\frac{i\times (i-1)}{2}}\sum _{j=0}^{y{z}_y}{C}_{y{z}_y}^j{2}^{j\times (s{z}_y-1)-\frac{j\times (j-1)}{2}}$$

当然还要乘其他不重要的边的方案数，也是一个二的次幂。

暴力做是平方的。

容易发现可以多项式优化。

然后考虑点的情况。

同样可以设 $f_i$ 为至少有 $i$ 个叶子不与这个点联通。

那么加入一颗子树的代价是：

$$f_{i+j}=\sum f_i\sum _{j=0}^{y{z}_y}{C}_{y{z}_y}^j{2}^{j\times (s{z}_y-1)-\frac{j\times (j-1)}{2}}$$

同样是卷积形式，可以多项式优化。

最终复杂度：$O(n^2\log n)$。