P5009 [yLOI2018] 不老梦 题解

这个小丑看了好久题目才发现保证 $t$ 不降。

好像与其他题解做法稍有不同。

思路#

其他题解的标记做法非常复杂，怎么办。

我们可以使用适用性可加强大的矩阵乘法。

我们考虑维护：

$$\left[\begin{array}{ccccc}\sum v& \sum a\times b& \sum a& \sum b& len\end{array}\right]$$

分别表示 $v$ 的和， $a\times b$ 的和， $a$ 的和， $b$ 的和，与区间长度。

分操作考虑。

时间往后移#

也就是所有的 $v$ 需要加上若干倍的 $a\times b$。

那么在矩阵上也就是乘上：

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ t-last& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

其中 $t$ 表示此时的时间，$last$ 表示上一个时间。

区间加 $v$#

在矩阵上为：

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ z& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

区间加 $a$#

在矩阵上为：

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& z& 0& 1& 0\\ 0& 0& z& 0& 1\end{array}\right]$$

区间加 $b$#

在矩阵上为：

$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& z& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& z& 1\end{array}\right]$$

应当都是比较容易理解的。

从这里就可以看出矩阵乘法的好处了，更加容易思考与实现。

然后直接使用线段树维护即可。

时间复杂度：$O(5^{3}n\log n)$

Code#

有一些细节。

如果直接这么写的话会只有 $\text{60pts}$。

会有一些点 $\text{TLE}$。

合理减少取模后。

可以得到 $\text{90pts}$。

将矩阵循环展开，减少一直为 $0$ 的位置。

就可以过了。

当然，如果你经常写数据结构维护矩阵，这些都是基本的（都是因为一般朴素的会被卡。

代码比较冗长，但很好写（最长的是复制粘贴的循环展开）。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define x first
#define y second
#define mp(x, y) make_pair(x, y)
#define fro(i, x, y) for(int i = (x);i <= (y);i++)
#define pre(i, x, y) for(int i = (x);i >= (y);i--)
#define dbg cerr << "Line " << __LINE__ << ": "
#define EVAL(x) #x " = " << (x)

typedef int64_t i64;
typedef uint32_t u32;
typedef uint64_t u64;
typedef __int128_t i128;
typedef __uint128_t u128;
typedef pair<int, int> PII;

bool ed;

const int N = 200010;
const int mod = 1e8 + 7;

int n, m, vis[N<<1];

inline void add(i64 &x, int y)
	{ x = (x + y) + (x + y >= mod ? -mod : 0); }
struct Mat
{
	i64 a[5][5]{};
	inline void init() { a[0][0] = a[1][1] = a[2][2] = a[3][3] = a[4][4] = 1; }
	inline void init(i64 v_, i64 ab_, i64 a_, i64 b_)
		{ a[0][0] = v_, a[0][1] = ab_, a[0][2] = a_, a[0][3] = b_, a[0][4] = 1; }
	inline void clear() { memset(a, 0, sizeof a); }
	inline Mat operator*(const Mat &tmp) const
	{
		Mat c;
		c.a[0][0] = (a[0][0] * tmp.a[0][0] + a[0][1] * tmp.a[1][0] + a[0][2] * tmp.a[2][0] + a[0][3] * tmp.a[3][0] + a[0][4] * tmp.a[4][0]) % mod;
        c.a[0][1] = (a[0][0] * tmp.a[0][1] + a[0][1] * tmp.a[1][1] + a[0][2] * tmp.a[2][1] + a[0][3] * tmp.a[3][1] + a[0][4] * tmp.a[4][1]) % mod;
        c.a[0][2] = (a[0][0] * tmp.a[0][2] + a[0][1] * tmp.a[1][2] + a[0][2] * tmp.a[2][2] + a[0][3] * tmp.a[3][2] + a[0][4] * tmp.a[4][2]) % mod;
        c.a[0][3] = (a[0][0] * tmp.a[0][3] + a[0][1] * tmp.a[1][3] + a[0][2] * tmp.a[2][3] + a[0][3] * tmp.a[3][3] + a[0][4] * tmp.a[4][3]) % mod;
        c.a[0][4] = (a[0][0] * tmp.a[0][4] + a[0][1] * tmp.a[1][4] + a[0][2] * tmp.a[2][4] + a[0][3] * tmp.a[3][4] + a[0][4] * tmp.a[4][4]) % mod;
        c.a[1][0] = (a[1][0] * tmp.a[0][0] + a[1][1] * tmp.a[1][0] + a[1][2] * tmp.a[2][0] + a[1][3] * tmp.a[3][0] + a[1][4] * tmp.a[4][0]) % mod;
        c.a[1][1] = (a[1][0] * tmp.a[0][1] + a[1][1] * tmp.a[1][1] + a[1][2] * tmp.a[2][1] + a[1][3] * tmp.a[3][1] + a[1][4] * tmp.a[4][1]) % mod;
        c.a[2][0] = (a[2][0] * tmp.a[0][0] + a[2][1] * tmp.a[1][0] + a[2][2] * tmp.a[2][0] + a[2][3] * tmp.a[3][0] + a[2][4] * tmp.a[4][0]) % mod;
        c.a[2][1] = (a[2][0] * tmp.a[0][1] + a[2][1] * tmp.a[1][1] + a[2][2] * tmp.a[2][1] + a[2][3] * tmp.a[3][1] + a[2][4] * tmp.a[4][1]) % mod;
        c.a[2][2] = (a[2][0] * tmp.a[0][2] + a[2][1] * tmp.a[1][2] + a[2][2] * tmp.a[2][2] + a[2][3] * tmp.a[3][2] + a[2][4] * tmp.a[4][2]) % mod;
        c.a[3][0] = (a[3][0] * tmp.a[0][0] + a[3][1] * tmp.a[1][0] + a[3][2] * tmp.a[2][0] + a[3][3] * tmp.a[3][0] + a[3][4] * tmp.a[4][0]) % mod;
        c.a[3][1] = (a[3][0] * tmp.a[0][1] + a[3][1] * tmp.a[1][1] + a[3][2] * tmp.a[2][1] + a[3][3] * tmp.a[3][1] + a[3][4] * tmp.a[4][1]) % mod;
        c.a[3][3] = (a[3][0] * tmp.a[0][3] + a[3][1] * tmp.a[1][3] + a[3][2] * tmp.a[2][3] + a[3][3] * tmp.a[3][3] + a[3][4] * tmp.a[4][3]) % mod;
        c.a[4][0] = (a[4][0] * tmp.a[0][0] + a[4][1] * tmp.a[1][0] + a[4][2] * tmp.a[2][0] + a[4][3] * tmp.a[3][0] + a[4][4] * tmp.a[4][0]) % mod;
        c.a[4][1] = (a[4][0] * tmp.a[0][1] + a[4][1] * tmp.a[1][1] + a[4][2] * tmp.a[2][1] + a[4][3] * tmp.a[3][1] + a[4][4] * tmp.a[4][1]) % mod;
        c.a[4][2] = (a[4][0] * tmp.a[0][2] + a[4][1] * tmp.a[1][2] + a[4][2] * tmp.a[2][2] + a[4][3] * tmp.a[3][2] + a[4][4] * tmp.a[4][2]) % mod;
        c.a[4][3] = (a[4][0] * tmp.a[0][3] + a[4][1] * tmp.a[1][3] + a[4][2] * tmp.a[2][3] + a[4][3] * tmp.a[3][3] + a[4][4] * tmp.a[4][3]) % mod;
        c.a[4][4] = (a[4][0] * tmp.a[0][4] + a[4][1] * tmp.a[1][4] + a[4][2] * tmp.a[2][4] + a[4][3] * tmp.a[3][4] + a[4][4] * tmp.a[4][4]) % mod;
		return c;
	}
	inline Mat operator+(const Mat &tmp) const
		{ Mat c; fro(i, 0, 4) c.a[0][i] = (a[0][i] + tmp.a[0][i]) - (a[0][i] + tmp.a[0][i] >= mod ? mod : 0); return c; }
} t[N<<1], tg[N<<1], mat[5];

#define ls (mid<<1)
#define rs (mid<<1|1)
inline void mo(i64 &x)
	{ x = (x % mod + mod) % mod; }
inline void mat1(int t) { mat[1].a[1][0] = t; }
inline void mat2(int t) { mat[2].a[3][1] = mat[2].a[4][2] = t; }
inline void mat3(int t) { mat[3].a[2][1] = mat[3].a[4][3] = t; }
inline void mat4(int t) { mat[4].a[4][0] = t; }
inline void push(int p, const Mat &k)
	{ t[p] = t[p] * k, tg[p] = tg[p] * k, vis[p] = 1; }
inline void pdo(int p, int mid)
{
	if(vis[p])
	{
		push(ls, tg[p]), push(rs, tg[p]);
		tg[p].clear(), tg[p].init(), vis[p] = 0;
	}
}
inline void update(int p, int l, int r, int L, int R, int op)
{
	if(L <= l && r <= R) return push(p, mat[op]);
	int mid = (l + r) >> 1; pdo(p, mid);
	if(mid >= L) update(ls, l, mid, L, R, op);
	if(mid <  R) update(rs, mid + 1, r, L, R, op);
	t[p] = t[ls] + t[rs];
}
inline int ask(int p, int l, int r, int L, int R)
{
	if(L <= l && r <= R) return t[p].a[0][0];
	int mid = (l + r) >> 1; pdo(p, mid); i64 sum{};
	if(mid >= L) add(sum, ask(ls, l, mid, L, R));
	if(mid <  R) add(sum, ask(rs, mid + 1, r, L, R));
	return sum;
}
inline void build(int p, int l, int r)
{
	tg[p].init();
	if(l == r)
	{
		i64 v, a, b;
		cin >> v >> a >> b;
		mo(v), mo(a), mo(b);
		t[p].init(v, a * b % mod, a, b);
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(ls, l, mid);
	build(rs, mid + 1, r);
	t[p] = t[ls] + t[rs];
}
inline void solve()
{
	cin >> n >> m;
	build(1, 1, n); i64 last = 0;
	mat[1].init(), mat[2].init();
	mat[3].init(), mat[4].init();
	fro(i, 1, m)
	{
		i64 op, t_, x, y, z;
		cin >> op >> t_ >> x >> y;
		if(t_ != last) mat1(t_ - last), push(1, mat[1]), last = t_;
		if(op != 1) cin >> z, mo(z);
		if(op == 1) cout << ask(1, 1, n, x, y) << "\n";
		if(op == 2) mat2(z), update(1, 1, n, x, y, 2);
		if(op == 3) mat3(z), update(1, 1, n, x, y, 3);
		if(op == 4) mat4(z), update(1, 1, n, x, y, 4);
	}
}

bool st;

signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
	double Mib = fabs((&ed-&st)/1048576.), Lim = 500;
	cerr << " Memory: " << Mib << "\n", assert(Mib<=Lim);
	solve();
	return 0;
}