P5398 [Ynoi2018] GOSICK 题解

第十四分块。

卡常卡到心机梗塞的一道题目。

思路#

思路就是普通二次离线莫队的思路。

我们发现，题目要求的东西的贡献如果用普通莫队求解
无法做到 $O(1)$ 的复杂度，我们可以考虑使用二次离线。

这个玩意的贡献设为 $f(l,r)$ 。

则端点右移的贡献则为 $f(l,r+x)$。

差分一下：

$$f(l,r+x)-f(l,r)=\sum _i^{i\le x}g(r+i,r+i-1)-g(r+i,l-1)$$

其中 $g(x,y)$ 表示的是第 $x$ 位对前 $y$ 个数的贡献。

前面那个东西可以用前缀和预处理出来，后面则可以再次离线求解。

考虑如何求解。

我们发现，题目中要求的二元组并没有 $i\le j$ 的限制，这对于莫队来说就变得不好处理，我们可以让每个数的因数和倍数都加入贡献，这样，就有了 $i\le j$ 的限制。

前缀和的预处理很好解决，可以直接对于每个数枚举因数，时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$。

对于后面的某个数对于序列的一个前缀的贡献，同样用扫描线解决。

1. 求解某个数在一个前缀内的倍数个数。

这个处理比较简单，开一个桶，只要扫到一个数时，加入它的因数，询问的时候直接询问就可以了，时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$。

2. 求解某一个数在前缀内的因数个数。

我们发现，当此时扫到的一个数比较大时，我们可以暴力跳倍数。

但是当此时扫到的一个数比较小时，暴力跳的时间复杂度就极为不优秀。

可以考虑根号分治。

当此时的数较小时，我们可以预处理出一个数组 $pr{e}_{x,y}$ 表示第 $y$ 位在前 $x$ 个数中的倍数个数。

这个的处理方法可以与1相同。

这样就得到了一个时空复杂度均为 $O(n\sqrt{n})$ 的极大常数的算法。

卡常#

现在讲一下如何让大常数选手卡过这道题。

首先，空间上，$n\sqrt{n}$ 的空间复杂度显然会被卡掉。

我们则可以一边处理询问，一边处理 $pre$ 数组。

空间则变为线性。

时间上：

• IO优化。

• 合理的开 $longlong$。

• 循环展开。

• 我们发现，这份代码上有很多枚举因数的 $n\sqrt{n}$ 的复杂度的地方，可以把他们放在一起写。

• 二次离线的储存询问不要使用桶，使用一个数组来存，排一下序就可以了。

• 至于阀值，莫队分块可以开 $1000$,根号分治则可以往小了开，可以在 $30-50$ 之间是比较优秀的。

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