P7447 [Ynoi2007] rgxsxrs 题解

特别劝退的一道题目。

调了整整两天，码长 4.39kb -> 6.89kb

这道毒瘤题不仅卡时间，还卡空间。

题意

给定一个长为 \(n\) 的序列 \(a\)，需要实现 \(m\) 次操作：

1 l r x：表示将区间 \([l,r]\) 中所有 \(>x\) 的元素减去 \(x\)。

2 l r：表示询问区间 \([l,r]\) 的和，最小值，最大值。

思路

一看到题以为是类似第二分块的做法，后来发现了强制在线和巨大的值域范围。

首先看到要维护的值有和，最小值，最大值，可以想到可能可以用线段树维护。

但又由于这是 \(\text{Ynoi}\)，所以还需要套一个分块。

考虑对于值域进行分块。

由于值域有 \(10^9\) 的大小，所以普通的根号分块显然不行，可以考虑 \(\log\) 分块。

具体来说，就是将值域分成 \(\log\) 个块，第 \(i\) 个块所存放的是 \(a^i-a^{i+1}\) 的值域。

在每个块内维护一颗动态开点线段树，以在原序列中的位置为下标，如果在减的过程中，值域不在这一块，则暴力删除修改。

如何进行修改。

• 若此时节点最大值小于等于 \(x\)，则可直接退出。

• 若此时节点最小值大于 \(x\)，同样可以直接打上标记然后退出。

• 若都没有，则继续递归不断处理。

查询则可以直接像普通线段树一样查询。

考虑修改块的复杂度，每一个数最多改变 \(\log\) 次块，故复杂度为 \(O(n \log w \log n)\)，其中 \(w\) 为值域。

在考虑查询和修改的复杂度，由于就是普通的在线段树上的操作，所以复杂度同样为 \(O(n \log w \log n)\)。

这样的代码，你会获得 \(53pts\) 的好成绩。

你会发现你 \(\text{MLE}\) 掉了。

算一下空间，你就发现这道题居然也卡了空间。

考虑一个以时间换空间优化线段树空间的方法。

可以发现，线段树最下面几层的节点，占据了大量空间，考虑把底层换为分块来解决。

每次遍历到叶子节点的块时，直接暴力操作。

这样虽然时间效率变低了，但空间就被大量优化。

底层分块的实现可以尝试使用链表来维护，算一种常数小也比较好写的方法。

1. 插入一个数时，直接接在此时的末尾的后面，复杂度 \(O(1)\)。

2. 删除一个数，同样是链表的基础操作，复杂度 \(O(1)\)。

3. 在做减法操作，下穿标记等操作时，只能遍历整个链表，复杂度 \(O(len)\)，其中 \(len\) 为链表长度。

这个玩意总得复杂度可能不怎么好算，但感觉也不会太慢。

实测，底层块长开 \(100\)，\(\log\) 分块开 \(14\) 进制，跑得比较快。

Code