CF724E Goods transportation 题解

萌新蒟蒻第一次写模拟网络流。

首先思考如何用网络流做掉这一题。

建立超级原点向每一个点连边，再建立超级汇点，让每一个点向超级汇点连边。

边权分别为 $p_i$ 和 $s_i$。

我们发现最大流不好求，转化为求最小割。

因为最大流=最小割，所以直接求就行了。

考虑dp来求这个最小割。

我们发现，当前情况下有两种割断的方法。

1. 直接割断连接汇点的边。

2. 割断与原点的边和与比它小的边。

我们发现可以直接滚掉一维，让 $dp[i]$ 表示当前割断整个图的最小代价。

因此，转化为动规式就是这个东西：

$$d{p}_i\leftarrow min(d{p}_{j-1}+s_i,d{p}_j+c\times j+p_i)$$

我们发现这个动态规划可以直接 $O(n^2)$ 来求。

至于其他大佬的 $O(n\log n)$ 的方法，我肯定是不会的了(萌新怎么会这种东西)。

Code#

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n , c , ans , p[10010] , s[10010] , dp[10010];

inline int read()
{
    int asd = 0 , qwe = 1; char zxc;
    while(!isdigit(zxc = getchar())) if(zxc == '-') qwe = -1;
    while(isdigit(zxc)) asd = asd * 10 + zxc - '0' , zxc = getchar();   
    return asd * qwe;
}

signed main()
{
    n = read() , c = read() , ans = 1e15;
    for(int i = 1;i <= n;i++) p[i] = read();
    for(int i = 1;i <= n;i++) s[i] = read();

    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        dp[i] = dp[i - 1] + s[i];
        for(int j = i - 1;j >= 1;j--)
            dp[j] = min(dp[j - 1] + s[i] , dp[j] + c * j + p[i]);
        dp[0] += p[i];
    }

    for(int i = 0;i <= n;i++)
        ans = min(ans , dp[i]);
    cout << ans;
    return 0;
}