“动态dp” 学习笔记
前置
这应该算一个神仙算法了吧，至少我<-这个蒟蒻学完是觉得这样的。
首现，你得会这些东西。
是不是有一种心态碎成渣渣的欲望。
模板题：
对于LCT的做法，我太弱了，不会LCT，所以可以去看别的文章。
思路
dp部分
首先，我们可以考虑怎么暴力做这道题目。
矩阵乘法+dp！！！
我们尝试来推一下这个式子：
我们设 \(f_{i , 1}\) 为选择 \(i\)，\(i\) 的子树的最大权独立集的权值大小。
\(f_{i , 0}\) 为不选择 \(i\)，\(i\) 的子树的最大权独立集的权值大小。
则有一个清晰易懂的式子：
\[f_{i , 0} = \sum_{son=1}\max(f_{son,0},f_{son,1})
\]
\[f_{i , 1} = \sum_{son=1}f_{son,0}+a_i
\]
最后的答案就是 \(\max(f_{1, 0}, f_{1, 1})\)。
然后，我们发现，这个东西带修以后，如果直接去跑，复杂度当场炸掉，有没有什么更快的方法呢。
这个时候，就需要引出我们的树链剖分了。
树链剖分部分
如果使用树链剖分，我们可以在 \(O(\log(n)^2)\) 的复杂度下，实现单点修改。
这个复杂度和普通的树链剖分是一样的。
至于复杂度的证明。
我们可一从dp本身的角度考虑。
由于dp最主要的一点就是无后效性，所以它其实和直接的用数据结构维护区间和差不多。
我们现在只需要考虑如何在线段树里\(O(1)\)的修改和查询。
矩阵部分
你可以看到，题解区对于这一块的详细讲解非常少，对于我这种对矩阵乘法不太熟的萌新非常不友好。
所以我在这里会详细的说明矩阵部分。
以便我自己理解(狗头)
我们刚刚讲到。
需要考虑如何在线段树里 \(O(1)\) 的修改和查询。
我们发现，可以用矩阵乘法进行优化。
\(g_{i,1}\) 表示 \(i\) 号点的所有轻儿子，都不取的最大权独立集；\(g_{i, 0}\) 表示 \(i\) 号点的所有轻儿子，可取可不取形成的最大权独立集。
那么刚刚那个式子就被简化成了：
\[f_{i,0} = \max(f_{j , 0}+g_{i,0},f_{j,1}+g_{i,0})
\]
\[f_{i,1} = \max(g_{i,1}+f_{j,0},-\infty)
\]
这里参考了题解区题解。
我们可以考虑重定义区间乘法。
即：
mat operator *(const mat &tmp) const
{
mat res; res.init();
for(int i = 0;i <= 1;i++)
for(int j = 0;j <= 1;j++)
for(int k = 0;k <= 1;k++)
res.a[i][j] = max(res.a[i][j] , a[i][k] + tmp.a[k][j]);
return res;
}
至于矩阵的推导式子：
\[\begin{vmatrix}f_{p,0}&f_{p,0}\\f_{p,1}&-\infty\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}f_{l,0}&f_{l,0}\\f_{l,1}&-\infty\end{vmatrix} * \begin{vmatrix}f_{r,0}&f_{r,0}\\f_{r,1}&-\infty\end{vmatrix}
\]
其中，\(p\) 为当前节点，\(l\) 为左子节点 \(r\) 为右子节点。
在建树的时候，将矩阵初始化为：
\[\begin{vmatrix}f_{i,0}&f_{i,0}\\f_{i,1}&-\infty\end{vmatrix}
\]
然后直接用矩阵乘法进行 \(O(1)\) 转移。
当然，在树剖往上跳的过程中，重链头部的矩阵同样需要转移。
我们设两个转移矩阵为：
\[\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&d_{1}\end{vmatrix}
\]
\[\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\c_{2}&d_{2}\end{vmatrix}
\]
要被转移的矩阵为：
\[\begin{vmatrix}x&y\\z&u\end{vmatrix}
\]
那么转移方程为：
\[\begin{vmatrix}x&y\\z&u\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}x+\max(a_{2},c_{1})-\max(a_{1},c_{1})&x+\max(a_{2},c_{1})-\max(a_{1},c_{1})\\z+a_{2}-a_{1}&u\end{vmatrix}\]
至于为什么是两个转移矩阵，我会在代码部分说明。
这样，我们就成功的完成了 \(O(1)\) 的推导了(建议自己手推一下前两个)。
代码实现
代码实现比较难，我刷了整整一版提交记录，才卡了过去。
代码长达4.5KB（码风问题）。
细节看注释吧。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf = 99999999;
const int manx = 1e5 + 5;
int n , m , cnt , tot , a[manx] , nv[manx];
int dp[manx][3] , f[manx][3] , head[manx];
//dp数组
struct edge
{
int to , nxt;
}e[manx * 2];
//连边
struct tree
{
int siz , id , fa , top , son , dep , end;
}t[manx];
//树链剖分节点信息，注意这里需要多统计一个end，表示重链的尾巴。
struct ST
{
int l , r;
#define l(x) st[x].l
#define r(x) st[x].r
#define lp p * 2
#define rp p * 2 + 1
}st[manx * 4];
//线段树
struct mat
{
int a[3][3];
void init()
{
for(int i = 0;i <= 1;i++)
for(int j = 0;j <= 1;j++)
a[i][j] = -inf;
}
mat operator *(const mat &tmp) const
{
mat res; res.init();
for(int i = 0;i <= 1;i++)
for(int j = 0;j <= 1;j++)
for(int k = 0;k <= 1;k++)
res.a[i][j] = max(res.a[i][j] , a[i][k] + tmp.a[k][j]);
return res;
}
//重定义的乘法
}ans, tr[manx * 4] , v[manx];
//矩阵
//tr为线段树中的矩阵，v[i]为编号为i的节点的矩阵。
int read()
{
int asd = 0 , qwe = 1; char zxc;
while(!isdigit(zxc = getchar())) if(zxc == '-') qwe = -1;
while(isdigit(zxc)) asd = asd * 10 + zxc - '0' , zxc = getchar();
return asd * qwe;
}
void add(int x , int y)
{
e[++cnt] = (edge){y , head[x]} , head[x] = cnt;
e[++cnt] = (edge){x , head[y]} , head[y] = cnt;
}
//TODO begin
void dfs1(int now , int com)
{
t[now].siz = 1 , t[now].dep = t[com].dep + 1 , t[now].fa = com;
int h = 0 , son = 0;
for(int i = head[now];i;i = e[i].nxt)
{
if(e[i].to == com) continue;
dfs1(e[i].to , now);
if(t[e[i].to].siz > h) h = t[e[i].to].siz , son = e[i].to;
t[now].siz += t[e[i].to].siz;
}
t[now].son = son;
}
//树链剖分第一次dfs
void dfs2(int now , int gf)
{
// cout << now << endl;
t[now].id = ++tot; nv[tot] = now;
t[gf].end = tot , t[now].top = gf;
if(t[now].son) dfs2(t[now].son , gf);
for(int i = head[now];i;i = e[i].nxt)
{
if(e[i].to == t[now].fa || e[i].to == t[now].son)
continue;
dfs2(e[i].to , e[i].to);
}
}
//树链剖分第二次dfs，注意要统计end。
void dfs3(int now)
{
f[now][1] = a[now];
for(int i = head[now];i;i = e[i].nxt)
{
if(e[i].to == t[now].fa || e[i].to == t[now].son) continue;
dfs3(e[i].to);
f[now][0] += max(dp[e[i].to][1] , dp[e[i].to][0]);
f[now][1] += dp[e[i].to][0];
}
dp[now][0] += f[now][0] , dp[now][1] += f[now][1];
if(!t[now].son) return;
dfs3(t[now].son);
dp[now][0] += max(dp[t[now].son][1] , dp[t[now].son][0]);
dp[now][1] += dp[t[now].son][0];
}
//初始的答案计算。
//TODO seg_Tree
void build(int p , int l , int r)
{
l(p) = l , r(p) = r;
if(l == r)
{
// cout << p << " " << l << " " << r << " " << nv[l] << endl;
v[nv[l]].a[0][0] = f[nv[l]][0] , v[nv[l]].a[1][0] = f[nv[l]][1];
v[nv[l]].a[0][1] = f[nv[l]][0] , v[nv[l]].a[1][1] = -inf;
//此处为第二个矩阵乘法推导式。
tr[p] = v[nv[l]];
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(lp , l , mid) , build(rp , mid + 1 , r);
tr[p] = tr[lp] * tr[rp];
//此处为第一个推导式。
}
//建树
mat ask(int p , int l , int r)
{
if(l <= l(p) && r(p) <= r) return tr[p];
int mid = (l(p) + r(p)) >> 1;
if(mid >= r) return ask(lp , l , r);
if(mid < l) return ask(rp , l , r);
// cout << p << " " << l << " " << r << endl;
return ask(lp , l , r) * ask(rp , l , r);
//同样的第一个推导式。
}
void update(int p , int id)
{
if(l(p) == r(p))
{
// cout << p << " " << nv[id] << endl;
tr[p] = v[nv[id]];
//直接赋值就可以了。
return;
}
int mid = (l(p) + r(p)) >> 1;
if(mid >= id) update(lp , id);
else update(rp , id);
tr[p] = tr[lp] * tr[rp];
//同样的。
}
void change(int u , int w)
{
v[u].a[1][0] += w - a[u] , a[u] = w;
//修改当前矩阵。
while(u != 0)
{
mat x , y;
int now = t[u].top;
x = ask(1 , t[now].id , t[now].end);
//修改前查询。
update(1 , t[u].id);
//将当前矩阵的修改转移到线段树上去。
y = ask(1 , t[now].id , t[now].end);
///修改后查询。
u = t[now].fa;
//往上跳。
// cout << u << " " << v[u].a[1][0] << " " << v[u].a[0][0] << endl;
v[u].a[0][0] += max(y.a[0][0] , y.a[1][0]) - max(x.a[0][0], x.a[1][0] );
v[u].a[0][1] = v[u].a[0][0];
v[u].a[1][0] += y.a[0][0] - x.a[0][0];
//第三个矩阵推导式，读者自行理解（可怜孩子并不会）。
}
}
//树链剖分往上跳。
int main()
{
n = read() , m = read();
for(int i = 1;i <= n;i++) a[i] = read();
for(int i = 1;i < n;i++)
{
int x = read() , y = read();
add(x , y);
}
dfs1(1 , 0) , dfs2(1 , 1) , dfs3(1) , build(1 , 1 , n);
for(int i = 1;i <= m;i++)
{
int x = read() , y = read();
change(x , y);
ans = ask(1 , t[1].id , t[1].end);
// cout << ans.a[0][0] << " " << ans.a[1][0] << endl;
cout << max(ans.a[0][0] , ans.a[1][0]) << endl;
//max中两个分别对应暴力算法中的f[1][1]和f[1][0]。
}
return 0;
}
感受到算法的难度了吗，反正我感受到了。
一道例题
有没有觉得现在看这道题感觉很简单。
因为最小权覆盖集 = 全集 - 最大权独立集。
所以直接修改查询就可以了。
当城市 \(a\) 不得驻扎军队时。
将 \(a\) 增加 \(\infty\)。
当城市 \(a\) 必须驻扎军队时。
将 \(a\) 减少 \(\infty\)。
如果查询的答案为 \(\infty\)。
则为无解。
Code
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int inf = 9999999999;
const int manx = 1e5 + 5;
int n , m , num , cnt , tot , a[manx] , nv[manx];
int dp[manx][3] , f[manx][3] , head[manx];
string type;
struct edge
{
int to , nxt;
}e[manx * 2];
struct tree
{
int siz , id , fa , top , son , dep , end;
}t[manx];
struct ST
{
int l , r;
#define l(x) st[x].l
#define r(x) st[x].r
#define lp p * 2
#define rp p * 2 + 1
}st[manx * 4];
struct mat
{
int a[3][3];
void init()
{
for(int i = 0;i <= 1;i++)
for(int j = 0;j <= 1;j++)
a[i][j] = -inf;
}
mat operator *(const mat &tmp) const
{
mat res; res.init();
for(int i = 0;i <= 1;i++)
for(int j = 0;j <= 1;j++)
for(int k = 0;k <= 1;k++)
res.a[i][j] = max(res.a[i][j] , a[i][k] + tmp.a[k][j]);
return res;
}
}ans, tr[manx * 4] , v[manx];
inline int read()
{
int asd = 0 , qwe = 1; char zxc;
while(!isdigit(zxc = getchar())) if(zxc == '-') qwe = -1;
while(isdigit(zxc)) asd = asd * 10 + zxc - '0' , zxc = getchar();
return asd * qwe;
}
inline void add(int x , int y)
{
e[++cnt] = (edge){y , head[x]} , head[x] = cnt;
e[++cnt] = (edge){x , head[y]} , head[y] = cnt;
}
//TODO begin
inline void dfs1(int now , int com)
{
t[now].siz = 1 , t[now].dep = t[com].dep + 1 , t[now].fa = com;
int h = 0 , son = 0;
for(int i = head[now];i;i = e[i].nxt)
{
if(e[i].to == com) continue;
dfs1(e[i].to , now);
if(t[e[i].to].siz > h) h = t[e[i].to].siz , son = e[i].to;
t[now].siz += t[e[i].to].siz;
}
t[now].son = son;
}
inline void dfs2(int now , int gf)
{
// cout << now << endl;
t[now].id = ++tot; nv[tot] = now;
t[gf].end = tot , t[now].top = gf;
if(t[now].son) dfs2(t[now].son , gf);
for(int i = head[now];i;i = e[i].nxt)
{
if(e[i].to == t[now].fa || e[i].to == t[now].son)
continue;
dfs2(e[i].to , e[i].to);
}
}
inline void dfs3(int now)
{
f[now][1] = a[now];
for(int i = head[now];i;i = e[i].nxt)
{
if(e[i].to == t[now].fa || e[i].to == t[now].son) continue;
dfs3(e[i].to);
f[now][0] += max(dp[e[i].to][1] , dp[e[i].to][0]);
f[now][1] += dp[e[i].to][0];
}
dp[now][0] += f[now][0] , dp[now][1] += f[now][1];
if(!t[now].son) return;
dfs3(t[now].son);
dp[now][0] += max(dp[t[now].son][1] , dp[t[now].son][0]);
dp[now][1] += dp[t[now].son][0];
}
//TODO seg_Tree
inline void build(int p , int l , int r)
{
l(p) = l , r(p) = r;
if(l == r)
{
// cout << p << " " << l << " " << r << " " << nv[l] << endl;
v[nv[l]].a[0][0] = f[nv[l]][0] , v[nv[l]].a[1][0] = f[nv[l]][1];
v[nv[l]].a[0][1] = f[nv[l]][0] , v[nv[l]].a[1][1] = -inf;
tr[p] = v[nv[l]];
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
build(lp , l , mid) , build(rp , mid + 1 , r);
tr[p] = tr[lp] * tr[rp];
}
inline mat ask(int p , int l , int r)
{
if(l <= l(p) && r(p) <= r) return tr[p];
int mid = (l(p) + r(p)) >> 1;
if(mid >= r) return ask(lp , l , r);
if(mid < l) return ask(rp , l , r);
// cout << p << " " << l << " " << r << endl;
return ask(lp , l , r) * ask(rp , l , r);
}
inline void update(int p , int id)
{
if(l(p) == r(p))
{
// cout << p << " " << nv[id] << endl;
tr[p] = v[nv[id]];
return;
}
int mid = (l(p) + r(p)) >> 1;
if(mid >= id) update(lp , id);
else update(rp , id);
tr[p] = tr[lp] * tr[rp];
}
inline void change(int u , int w)
{
v[u].a[1][0] += w , a[u] += w;
while(u != 0)
{
mat x , y;
int now = t[u].top;
x = ask(1 , t[now].id , t[now].end);
update(1 , t[u].id);
y = ask(1 , t[now].id , t[now].end);
u = t[now].fa;
// cout << u << " " << v[u].a[1][0] << " " << v[u].a[0][0] << endl;
v[u].a[0][0] += max(y.a[0][0] , y.a[1][0]) - max(x.a[0][0], x.a[1][0] );
v[u].a[0][1] = v[u].a[0][0];
v[u].a[1][0] += y.a[0][0] - x.a[0][0];
}
}
signed main()
{
n = read() , m = read(); cin >> type;
for(int i = 1;i <= n;i++) a[i] = read() , num += a[i];
for(int i = 1;i < n;i++)
{
int x = read() , y = read();
add(x , y);
}
dfs1(1 , 0) , dfs2(1 , 1) , dfs3(1) , build(1 , 1 , n);
for(int i = 1;i <= m;i++)
{
int x1 = read() , y1 = read() , x2 = read() , y2 = read() , sum = 0;
change(x1 , (y1 ? -inf : inf));
change(x2 , (y2 ? -inf : inf));
sum = ((y1 ^ 1) + (y2 ^ 1)) * inf;
ans = ask(1 , t[1].id , t[1].end);
sum = max(ans.a[0][0] , ans.a[1][0]) - sum;
change(x1 , (y1 ? inf : -inf));
change(x2 , (y2 ? inf : -inf));
if(num - sum > inf) cout << -1 << endl;
else cout << num - sum << endl;
}
return 0;
}
