摘要：
感觉纯结论题。 思路 首先有一个很重要的结论： 竞赛图强连通缩点后的 DAG 呈链状，前面的所有点向后面的所有点连边。 如果用强连通分量的角度来看是这样的： 一个竞赛图的 SCC 个数等于将其点集划分为两个集合 \(A, B\)（可为空集）并满足以下限制的方案数 \(-1\)： 对于每条满足 \(u 阅读全文
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非常有教育意义的题目。 思路 我们需要深入理解 fwt 的本质。 本质上，我们不断对每一维进行线性变换。 例如在做 \(a_i=\sum_{i | j = i}b_j\) 时。 我们的 fwt 过程中的变换是： \[\begin{cases} a_0=b_0\\ a_1=b_0+b_1\\ \end 阅读全文
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技巧题，如果不会一些技巧确实可能做不出来。 思路 由于每一次待选的点的条件非常苛刻。 所以我们不妨把待选的点看作所有的点，但是只有在选到真正可能被选的点的时候才计算贡献。 我们可以考虑每一个点的期望被选择次数。 答案为所有点的期望被选择次数之和。 对于一个点 \(i\)，它的深度为 \(d_i\)。 阅读全文
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很有趣的题目. 思路 我们考虑如果每一个栈里只有一个数怎么办。 这个时候，我们会形成一个基环树森林。 我们的操作相当于每走一步就删掉来时的路。 那么每个点最终会停在离它最近的环上的点。 我们可以发现一个性质，一个环是不会影响结果的，因为它总能走回来。 所以我们可以不断的删掉一个环，直到它变成一个树。 阅读全文
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best 定理居然还有运用范围。 思路 考虑如何来判断是否有解。 由于每一条边都需要用到。 但是它是使用很多条路径进行覆盖。 我们考虑一个很巧妙的转化。 建立一个超级源点，源点向每一条路径的开头连一条边。每一条路径的结尾向源点连一条边，这样一条路径就变成了一个回路。 把所有回路连起来，就是一条欧拉回 阅读全文
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场上被创死了。 思路 考虑一次操作会造成什么影响。 加入操作的是： \[x_1,x_2,x_3,x_4 \]它们会变成： \[x_1,x_1+x_4-x_3,x_1+x_4-x_2,x_4 \]发现没有什么规律。 考虑它们的差分序列： \[x_1,x_4-x_3,x_3-x_2,x_2-x_1 \] 阅读全文
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感觉这种题都比较套路。 思路 我们考虑定义势能函数 \(\Phi(x)\)，满足： 对于一个随机过程，\(E(\Phi(A_{x+1})-\Phi(A_{x})|A_x,\cdots,A_0)=-1\)。 \(\Phi(A_t)\) 为定值，并且 \(\Phi(A_t)=\Phi(A_i)\) 当且 阅读全文
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一道非常有启发性的题目。 思路 考虑对于一个给出点值的多项式函数如何处理。 我们发现，对于一个 \(m\) 次多项式 \(f(x)\)，由于 \(\binom{x}{i}\) 为 \(i\) 次多项式，所以说我们必定可以把一个多项式函数写成如下模样： \[F(k)=\sum_{i=0}^m\bino 阅读全文
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很有意思的一道题。 思路 首先将相邻一样的数合并，每个元素变成一个二元组，表示数与出现次数。 考虑什么时候不能合并。 我们发现假如充分合并后，现在有连续的三个数 \(x_1,x_2,x_3\)，以及他们各自的出现次数 \(y_1,y_2,y_3\)。 如果 \(x_1>x_2,x_3>x_2\)。 阅读全文
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思路 考虑前缀和时每一位的贡献是什么。 对于一个生成函数 \(F(x)\)。 对其作 \(k\) 次前缀和，函数会变成： \[(\frac{1}{1-x})^kF(x) \]那么其 \(n\) 次项系数： \[\begin{align} &=[x^n](\frac{1}{1-x})^kF(x)\no 阅读全文