大话数据结构 - 算法时间复杂度

2.9.1 算法时间复杂度定义

    在进行算法分析时，语句总的执行次数 T(n)  是关于问题规模 n 的函数，进而分析 T(n) 随 n 的变化情况并确定 T(n) 的数量级。

    算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量，记作：T(n) = O(f(n))。

    它表示随问题规模 n 的增大，算法时间的增长率和 f(n) 的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。

    其中 f(n) 是问题规模 n 的某个函数。

　　这样用大写 O() 来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

　　一般情况下，随着 n 的增大，T(n) 增长最慢的算法为最优算法。

　　显然，由此算法时间复杂度的定义可知，我们的三个求和算法的时间复杂度分别为 O(1) ，O(n) ，O(n²) 。

　　我们分别给它们取了非官方的名称，O(1) 叫常数阶，O(n) 叫线性阶，O(n²) 叫平方阶，当然，还有其他的一些阶，我们之后会介绍。

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 2.9.2 推导大O阶方法

　　那么如何分析一个算法的时间复杂度呢？即如何推导大O阶呢？我们给出了下面的推导方法。

    推导大O阶：

    1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

    2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

    3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

    得到的结果就是大O阶。

　　哈，仿佛是得到了游戏攻略一样，我们好像已经得到了一个推导算法时间复杂度的万能公式。

　　可事实上，分析一个算法的时间复杂度，没有这么简单，我们还需要多看几个例子。

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 2.9.3 常数阶

　　首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，也就是刚才的第二种算法，为什么时间复杂度不是 O(3)，而是 O(1)。

int sum = 0,n = 100;  /*执行一次*/
sum = (1+n)*n/2;   /*执行一次*/
printf("%d", sum);  /*执行一次*/

　　这个算法的运行次数函数是 f(n)=3。根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。
      另外，我们试想一下，如果这个算法当中的语句 sum = (1 + n) * n / 2 有10句，即：

int sum=0,n=100;    /* 执行1次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第1次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第2次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第3次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第4次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第5次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第6次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第7次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第8次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第9次 */
sum = (1+n)*n/2;    /* 执行第10次 */
printf("%d",sum);   /* 执行1次 */

　　事实上无论n为多少，上面的两段代码就是3次和12次执行的差异，这种与问题的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。
　　注意，不管这个常数是多少，我们都记作O(1)，而不能是O(3)、O(12)等其他任何数字。这是初学者常常犯的错误。
　　对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)。

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2.9.4 线性阶
　　循环结构就会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
　　下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)。因为循环体中的代码须要执行n次。

int i，n=100，sum=0;
for( i=0; i < n; i++)
{
    sum=sum+i;
}

上面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码需要执行n次。其实，线性阶就是一个简单的for循环，条件在i<n，因而时间复杂度为O(n)。

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2.9.5 对数阶
        那么下面的这段代码，时间复杂度又是多少呢？

int i=1，n=100;
while( i<n )
{
    i=i*2;
}

　　由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2x=n得到x=log2n。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

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2.9.6 平方阶
　　n等于100，也就是说外层循环每执行一次， 内层循环就执行100次 那总共程序想要从这两个循环出来，需要执行100*100次， 也就是n的平方。 所以这段代码的时间复杂度为0(n^2)。那如果有三个这样的嵌套循环呢? 没错，那就是n^3。所以我们很容易总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

　　例一：下面的例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才2.9.4中分析过，内循环时间复杂度为O(n)。

int i,j;
for(i=0; i<n; i++)
{
    for(j=0; j<n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

　　而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n²)。

　　例二：如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度则变为O(m×n)。

int i,j;
for(i=0; i<m; i++)
{
    for(j=0; j<n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

　　例三：那么下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢？

int i,j;
for(i=0; i<n; i++)
{
    for(j=i; j<n; j++)   /*  注意j=i而不是0  */
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

　　由于

　　当i=0时，内循环执行了n次，

　　当i=1时，执行了n-1次，

　　…………

　　当i=n-1时，执行了1次。

　　n + (n-1) + (n-2) + …… +1 = n(n+1)/2 = n²/2 + n/2

　　用我们推导大O阶的方法：

　　第一条，没有加法常数，不考虑；

　　第二条，只保留最高阶项，因此保留n²/2；

　　第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，

　　最终这段代码的时间复杂度为O(n²)。

　　例四：对于方法调用的时间复杂度又如何分析？

int i,j;
for(i=0; i<n; i++)
{
    function(i);
}
 
void function(int count)
{
    printf( count );
}

　　函数体是打印这个参数。其实这很好理解，function函数的时间复杂度是O(1)。所以整体的时间复杂度是O(n)。

　　例五：假如 function 是下面这样的：

int i,j;
for(i=0; i<n; i++)
{
    function(i);
}
 
void function(int count)
{
    int j;
    for(j=count; j<n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

　　其实这和刚刚的例子是一样的，只是把嵌套内循环放到了函数中，所以最终的时间复杂度还是为O(n²)。

　　例六：下面这段相对复杂的语句：

n++;                /* 执行次数为1 */
function(n);        /* 执行次数为n */
int i,j;
for(i=0; i<n; i++)  /* 执行次数为n² */
{
    function(i);
}
for(i=0; i<n; i++)  /* 执行次数为n(n+1)/2 */
{
    for(j=i; j<n; j++)
    {
        /* 时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 */
    }
}

　　它的执行次数 f(n) = 1 + n + n² + n(n+1)/2 = 3n²/2 + 3n/2 + 1

　　根据推导大0阶的方法，最终这段代码的时间复杂度也是0(n²)。

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2.10 常见的时间复杂度

　　常用时间复杂度所耗费时间从小到大依次为：

　　O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!) < O(nⁿ)

　　我们前面谈到了 O(1) 常数阶、O(logn)对数阶、O(n)线性阶、O(n²)平方阶等，至于 O(nlogn) 我们将会在今后的课程中介绍，而像 O(n³)，过大的n都会使得结果变得不现实。同样指数阶 O(2^n) 和阶乘阶 O(n!) 等除非是很小的n值，否则哪怕n只是100，都是噩梦般的运行时间。所以这种不切实际的算法时间复杂度，一般我们都不去讨论它。

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2.11 最坏情况和平均情况

　　我们查找一个有 n 个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为 O(1)，但也有可能这个数字就在最后一个位置上待着，那么时间的复杂的就是 O(n)，这是最坏的一种情况了。

　　最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

　　平均运行时间是所以情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。也就是说，我们运行一段代码的时，是希望看到评价运行时间的。可现实中，平均运行时间很难通过分析得到，一般都是通过运行一定数量的实验数据后估算出来的。

　　对算法的分析，一种方法是计算所有情况的平均值，这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度。另一种方法是计算最坏情况下的时间复杂度，这种方法称为最坏时间复杂度。一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。