「NOIP2002」均分纸牌

题目描述

有 \(N\) 堆纸牌，编号分别为 \(1, 2,\cdots, N\)。每堆上有若干张，但纸牌总数必为 \(N\) 的倍数。可以在任一堆上取若于张纸牌，然后移动。

移牌规则为：在编号为 \(1\) 堆上取的纸牌，只能移到编号为 \(2\) 的堆上；在编号为 \(N\) 的堆上取的纸牌，只能移到编号为 \(N-1\) 的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。

现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。

例如 \(N=4\)，\(4\) 堆纸牌数分别为：

①　\(9\)　②　\(8\)　③　\(17\)　④　\(6\)

移动3次可达到目的：

1.从 ③ 取 \(4\) 张牌放到 ④ （\(9, 8, 13, 10\)）

2.从 ③ 取 \(3\) 张牌放到 ②（\(9, 11, 10, 10\)）

3.从 ② 取 \(1\) 张牌放到①（\(10, 10, 10, 10\)）。

输入

\(N\)（\(N\) 堆纸牌，\(0 \le N \le 100\)） \(A_1, A_2, \cdots, A_n\) （\(N\) 堆纸牌，每堆纸牌初始数，\(0 \le A_i \le 10000\)）

输出

所有堆均达到相等时的最少移动次数。

样例

样例输入1

4
9 8 17 6

样例输出1

3

解题思路

这是一个典型的贪心算法问题。首先将每堆纸牌的数量相加，得到总数量 \(total\)，然后计算平均数 \(ave = total {\div} n\)。

否则，从第一堆开始，如果这一堆的纸牌数比 \(ave\) 小，则从相邻的堆中向这一堆移动纸牌，使其恰好达到 \(ave\)，移动的张数为 \(ave -A_i\)，并将移动次数累加到答案中。如果这一堆的纸牌数比 \(average\) 大，则将多出来的纸牌向相邻的堆中移动，移动的张数为 \(A_i - ave\)，并将移动次数累加到答案中。最后统计移动的次数即可。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long N = 110;
long long a[N], b[N], n, total = 0, ans = 0, dif, ave = 0;

int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) { //循环输入
		cin >> a[i];
		total += a[i]; //求总和
	}
	ave = total / n; //算平均值
	for (int i = 1; i <= n; i++) { // 贪心核心代码
		if (a[i] > ave) {
			dif = a[i] - ave;
			a[i + 1] += dif;
			a[i] = ave;
			ans++;
		} else if (a[i] < ave) {
			dif = ave - a[i];
			a[i + 1] -= dif;
			a[i] = ave;
			ans++;
		}
	}
	cout << ans; //输出答案

	return 0;
}

此代码时间复杂度为 \(O(N)\)