高数学习笔记之三大微分中值定理（罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理）
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0x00 概述
微分中值定理是很重要的基础定理，很多定理都是以它为基础进行证明的。
0x01 罗尔中值定理
1.1 直觉
这是往返跑：
可以认为他从 点出发，经过一段时间又回到了
点，画成
（位移-时间）图就是
根据常识，因为要回到起点，中间必定有速度为0的点：
拳击比赛中，步伐复杂：
但不论怎样，只要最后回到起点，中间必定有速度为0的点：
这就是罗尔中值定理。
1.2 罗尔中值定理
设函数满足以下三个条件：
在闭区间
连续是必须的，否则有可能没有
在开区间
可导也是必须的：
1.3 拓展
可能有的同学觉得，定理中的条件“ 
在闭区间
连续、在
可导”比较古怪，
为什么不是“
在闭区间
连续、在
可导”？
大概有两个原因，首先，“开区间可导”条件更弱，包含了“闭区间可导”；其次，”开区间可导”的函数并不一定就“闭区间可导”，
比如：
此函数在图像如下：
此函数就是在 连续，
可导，在端点
处导数不存在（类似于
在0点处不可导，可自行证明）。
0x02 拉格朗日中值定理
2.1 直觉
来看下交通管理中的区间测速：
时间 采集到汽车的位移为
，时间
采集到汽车的位移为
可以据此算出平均速度为：
比如算出来平均速度为 ，平均速度是由瞬时速度叠加的结果，那么路程中的瞬时速度可能为：
- 匀速前进：那么整个路程的瞬时速度必然全为
- 变速前进：整个路程的瞬时速度必然有大于、等于、小于
的情况
下面是变速前进的速度变换动画（蓝色为大于，闪烁为平行即等于，绿色为小于）：
如果限速 ，那么根据汽车的平均速度为
，就可以判定路程中必然至少有一个点超速。
约瑟夫·拉格朗日伯爵，法国籍意大利裔数学家和天文学家，以他命名的拉格朗日中值定理就可以在数学层面解释刚才的现象。
2.2 拉格朗日中值定理
设函数满足以下两个条件：
在闭区间
上连续
上可导
则存在 ，使得
这个定理的几何意义就是，至少存在一点的切线与端点的连线平行；物理意义是，至少存在一点的速度与平均速度相等：
把它旋转一下，使得 ：
得到的就是罗尔中值定理，可见罗尔是拉格朗日的特例：
0x03 柯西中值定理
3.1 二维空间中的运动
之前讨论的是一维空间中的运动，下面来看看二维空间中的运动（关于这点，可以参看课程中“参数方程求导与相关变化率”这一节）。
假设参数方程：
描述了一个二维空间中的运动：
为了方便描述，令 、
，那么上图描述的就是
时刻在
位置，
时刻运动到了
位置。
向量 就表明了最终的运动方向：
仔细分析此运动过程，刚开始的时候，速度 的方向与
相反，也就是说点是反着走的：
所以需要不断转弯调整：
最终才能到达目的地：
容易想象，在转弯调整的过程中，必然会有 和
同向的时刻，比如
时刻：
那么两者所在直线必然也平行：
此时， 所在直线的斜率：
以及 所在直线的斜率（根据参数方程的求导法则）：
必然相等：
这就是柯西中值定理
3.2 柯西定理
设函数满足以下条件：
在闭区间
有：
则存在 ，使等式
成立。
可以把 组合成参数方程：
这样柯西中值定理就有类似于拉格朗日中值定理一样的几何意义：
如果：
那么柯西中值定理就变为了拉格朗日中值定理，所以拉格朗日又是柯西的特例。
0x04 总结
三大微分中值定理的联系与区别：
