高数学习笔记之三大微分中值定理（罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理）

阅读目录

• 0x00 概述 
• 0x01 罗尔中值定理
• 0x02 拉格朗日中值定理
• 0x03  柯西中值定理
• 0x04 总结

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0x00 概述 

微分中值定理是很重要的基础定理，很多定理都是以它为基础进行证明的。

 

0x01 罗尔中值定理

1.1 直觉

这是往返跑：

可以认为他从 点出发，经过一段时间又回到了 点，画成 （位移-时间）图就是

 

 

 根据常识，因为要回到起点，中间必定有速度为0的点：

 

 拳击比赛中，步伐复杂：

 

 但不论怎样，只要最后回到起点，中间必定有速度为0的点：

 

 

 这就是罗尔中值定理。

 

1.2 罗尔中值定理

设函数满足以下三个条件：

在闭区间连续是必须的，否则有可能没有

 

 

 

 在开区间可导也是必须的：

 

 

 

1.3 拓展

可能有的同学觉得，定理中的条件“ 在闭区间连续、在可导”比较古怪，

为什么不是“在闭区间连续、在 可导”？

 

大概有两个原因，首先，“开区间可导”条件更弱，包含了“闭区间可导”；其次，”开区间可导”的函数并不一定就“闭区间可导”，

比如：

 

 

此函数在图像如下：

 

 此函数就是在 连续， 可导，在端点 处导数不存在（类似于在0点处不可导，可自行证明）。

 

0x02 拉格朗日中值定理

 2.1 直觉

来看下交通管理中的区间测速：

时间 采集到汽车的位移为 ，时间 采集到汽车的位移为

 

 可以据此算出平均速度为：

 

 

比如算出来平均速度为 ，平均速度是由瞬时速度叠加的结果，那么路程中的瞬时速度可能为：

• 匀速前进：那么整个路程的瞬时速度必然全为
• 变速前进：整个路程的瞬时速度必然有大于、等于、小于 的情况

下面是变速前进的速度变换动画（蓝色为大于，闪烁为平行即等于，绿色为小于）：

 

 如果限速 ，那么根据汽车的平均速度为 ，就可以判定路程中必然至少有一个点超速。

 

 约瑟夫·拉格朗日伯爵，法国籍意大利裔数学家和天文学家，以他命名的拉格朗日中值定理就可以在数学层面解释刚才的现象。

 

2.2 拉格朗日中值定理

设函数满足以下两个条件：

•  在闭区间 上连续
•  在开区间 上可导

则存在 ，使得

这个定理的几何意义就是，至少存在一点的切线与端点的连线平行；物理意义是，至少存在一点的速度与平均速度相等：

 

 

 把它旋转一下，使得 ：

得到的就是罗尔中值定理，可见罗尔是拉格朗日的特例：

 

 

0x03  柯西中值定理

3.1  二维空间中的运动

之前讨论的是一维空间中的运动，下面来看看二维空间中的运动（关于这点，可以参看课程中“参数方程求导与相关变化率”这一节）。

假设参数方程：

 

 描述了一个二维空间中的运动：

为了方便描述，令 、 ，那么上图描述的就是 时刻在 位置， 时刻运动到了 位置。

向量 就表明了最终的运动方向：

 

 仔细分析此运动过程，刚开始的时候，速度 的方向与 相反，也就是说点是反着走的：

所以需要不断转弯调整：

最终才能到达目的地：

 

容易想象，在转弯调整的过程中，必然会有 和 同向的时刻，比如 时刻：

 

 那么两者所在直线必然也平行：

 

 此时， 所在直线的斜率：

 

 以及 所在直线的斜率（根据参数方程的求导法则）：

 

 必然相等：

 

 这就是柯西中值定理

 

3.2 柯西定理

设函数满足以下条件：

•  在闭区间 上连续
•  在开区间 上可导
•  有：

则存在 ，使等式

成立。

 

可以把 组合成参数方程：

 

 这样柯西中值定理就有类似于拉格朗日中值定理一样的几何意义：

如果：

 

 那么柯西中值定理就变为了拉格朗日中值定理，所以拉格朗日又是柯西的特例。

 

0x04 总结

三大微分中值定理的联系与区别：