dtoj#4259. 越野赛车问题
题目描述:
小 $H$ 是一位优秀的越野赛车女选手。现在她准备在 $A$ 山上进行赛车训练。
$A$ 山上一共有 $n$ 个广场,编号依次为 $1$ 到 $n$ ,这些广场之间通过 $n-1$条双向车道直接或间接地连接在一起。对于每条车道$i$ ,可以用四个正整数 $u_i,v_i,l_i,r_i$描述,表示车道连接广场 $u_i$ 和 $v_i$ ,其速度承受区间为$[l_i,r_i]$,即汽车必须以不小于$l_i$ 且不大于 $r_i$ 的速度经过车道$i$ 。
小 $H$ 计划进行 $m$ 次训练,每次她需要选择 $A$ 山上的一条简单路径,然后在这条路径上行驶。但小 $H$ 不喜欢改变速度,所以每次训练时的车速都是固定的。
现在小 $H$ 告诉你她在$m$ 次训练中计划使用的车速,请帮助她对于每次训练,找到一条合法的路径(车速在所有车道的速度承受区间的交集内),使得路径上经过的车道数最大。
算法标签:线段树,可持久化并查集,动态维护树的直径,rmq
思路:
建一棵以 $l,r$ 为下标的线段树,把每条边放到区间里,每次对于这个区间的边连到图中,启发式合并,并查集不路径压缩。用一个栈记录下每层实现了那些修改,把被修改的数记录下来,之后推出这层时复原。
对于直径的维护,每次使两个连通分量连接,可以证明直径一定是由未合并前两个联通块的直径的端点连接组成。考虑对于至多四个点枚举两两之间的路径长度,得到新联通块的直径。求 $lca$ 用 $rmq$ 提前预处理。
以下代码:
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#include<bits/stdc++.h> #define il inline #define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar()))) using namespace std; const int N=7e4+5; int top,mx[N],Ans,tot; int d[N],id[N],rq[N<<1][20],sz[N],fa[N],p1[N],p2[N]; int n,m,head[N],ne[N<<1],to[N<<1],cnt,Lg[N<<1],res[N],gg[4]; vector<int> t[N<<2],s[N]; struct node{ int x,y; }g[N]; struct data{ int x,y,len,p1,p2; }q[N]; il int read(){ int x,f=1;char ch; _(!)ch=='-'?f=-1:f;x=ch^48; _()x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48); return f*x; } il int Min(int x,int y){ return d[x]<d[y]?x:y; } il void insert(int x,int y){ ne[++cnt]=head[x]; head[x]=cnt;to[cnt]=y; } il void ins(int x,int l,int r,int ql,int qr,int v){ if(ql<=l&&r<=qr){t[x].push_back(v);return;} int mid=(l+r)>>1; if(ql<=mid)ins(x<<1,l,mid,ql,qr,v); if(mid<qr)ins(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr,v); } il void dfs(int x,int fa){ id[x]=++tot;rq[tot][0]=x; for(int i=head[x];i;i=ne[i]){ if(fa==to[i])continue; d[to[i]]=d[x]+1;dfs(to[i],x); rq[++tot][0]=x; } } il int Lca(int x,int y){ int l=id[x],r=id[y]; if(l>r)swap(l,r); int k=Lg[r-l+1]; return Min(rq[l][k],rq[r-(1<<k)+1][k]); } il int getfa(int x){ return fa[x]==x?x:getfa(fa[x]); } il void add(int p){ int x=g[p].x,y=g[p].y; int a=getfa(x),b=getfa(y); if(sz[a]<sz[b])swap(a,b),swap(x,y); q[++top]=(data){a,b,mx[a],p1[a],p2[a]}; gg[0]=p1[a];gg[1]=p2[a];gg[2]=p1[b];gg[3]=p2[b]; int maxn=-1,f1,f2; for(int i=0;i<4;i++){ for(int j=i+1;j<4;j++){ int lca=Lca(gg[i],gg[j]); int len=d[gg[i]]+d[gg[j]]-2*d[lca]; if(len>maxn)maxn=len,f1=gg[i],f2=gg[j]; } } p1[a]=f1;p2[a]=f2;mx[a]=maxn;fa[b]=a;sz[a]+=sz[b]; Ans=max(Ans,maxn); } il void del(int p){ while(top>p){ int a=q[top].x,b=q[top].y; sz[a]-=sz[b]; fa[b]=b;mx[a]=q[top].len; p1[a]=q[top].p1;p2[a]=q[top].p2; top--; } } il void solve(int x,int l,int r){ int tmp=top,ret=Ans; for(int i=0;i<t[x].size();i++)add(t[x][i]); if(l==r){ for(int i=0;i<s[l].size();i++)res[s[l][i]]=Ans; del(tmp);Ans=ret; return; } int mid=(l+r)>>1; solve(x<<1,l,mid);solve(x<<1|1,mid+1,r); del(tmp);Ans=ret; } int main() { n=read();m=read(); for(int i=1;i<n;i++){ int x=read(),y=read(),l=read(),r=read(); insert(x,y);insert(y,x);g[i]=(node){x,y}; ins(1,1,n,l,r,i); } for(int i=1;i<=m;i++){ int x=read();s[x].push_back(i); } d[1]=1;dfs(1,0); for(int i=2;i<=tot;i++)Lg[i]=Lg[i>>1]+1; for(int j=1;j<=Lg[tot];j++)for(int i=1;i+(1<<j)-1<=tot;i++) rq[i][j]=Min(rq[i][j-1],rq[i+(1<<(j-1))][j-1]); for(int i=1;i<=n;i++)sz[i]=1,fa[i]=p1[i]=p2[i]=i; solve(1,1,n); for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d\n",res[i]); return 0; }