5. Longest Palindromic Substring[M]最长回文子串
题目
Given a string s, find the longest palindromic substring in s. You may assume that the maximum length of s is 1000.
Example1：
Input: "babad"
Output: "bab"
Note: "aba is also a valid answer. "
Example2：
Input: "cbbd"
Output: "bb"
思路
思路1：动态规划
Step1：刻画一个最优解方程
\(dp[i][j]\)表示子串\(s[i, \cdots,j]\)是否是一个回文子串
Step2：递归定义最优解的值
（1）初始化：
- dp[i][i] = true, i = [0, 1, ... ,n-1];
- dp[i][i-1] = true, i = [1,2,...,n-1]
- 其余为false
（2）状态转移表
- dp[i][j] = (s[i] == s[j] && dp[i+1][j-1])
状态转移表更新如图1：
Step3：计算最优解的值
根据状态转移表，以及递推公式，计算dp[i][j]。
思路2：中心扩展法
以某字符为中心，分别计算回文长度。分为回文子串为奇数、偶数两种情况
- 奇数：以当前遍历字符为中心判断
- 偶数：以当前遍历字符与其相邻字符为中心判断
思路3：Manacher算法
又称为马拉车算法，可以在时间复杂都为O(n)的情况下求解一个字符串的最长回文子串的问题。
Manacher算法通过为字符串虚拟增加#（并不是真的增加#），使得长度为奇数和长度为偶数的回文子串放在一起考虑（使得回文子串长度都为奇数），如图1。具体操作：在字符串的首部、尾部、相邻字符之间虚拟增加#号。
（1）Len数组的性质
（2）Len数组的计算
思路4：字符串分片（python）
利用字符串的分片操作来检测是否是回文。
Tips
动态规划
将待求解问题分解为若干个非互相独立的子问题，先求子问题，再求原问题。（通常需要将不同阶段的不同状态保存在二维数组内）。
C++
- 思路1
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
int nLength = s.size();
if(nLength<1)
return s;
vector<vector<bool> > dp(nLength, vector<bool>(nLength, 0)); //dp[i][j]表示子串s[i,...,j]是否是一个回文子串
int strBegin = 0; //回文子串的开始
int strEnd = 0; //回文子串的结尾
//初始化
for(int i = 1;i < nLength; i++){
dp[i][i] = true;
dp[i][i-1] = true; //这个是针对子串长度为2，"bb"、"aa"的情况
}
dp[0][0] = true;
//动态规划
for(int i = 2;i <= nLength; i++){ //回文长度
for(int j = 0; j <= nLength - i ; j++){ //回文子串起始
if(s[j] == s[i+j - 1] && dp[j+1][i+j-2]){
dp[j][j+i-1] = true;
if(strEnd - strBegin + 1 < i){
strBegin = j;
strEnd = i + j -1;
}
}
}
}
return s.substr(strBegin,strEnd-strBegin+1);
}
};
- 思路2
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
int nLength = s.size();
if(nLength == 1)
return s;
int strBegin = 0;
int maxLength = 0;
for(int i = 1;i < nLength; i++){
//如果回文子串是奇数，以i为中心搜索
int left = i - 1;
int right = i + 1;
while(left >=0 && right < nLength && s[left] == s[right] )
{
left --;
right ++;
}
if(right - left - 1 > maxLength){ //right -1 - (left + 1) + 1
maxLength = right - left - 1;
strBegin = left + 1;
}
//如果回文子串是偶数,
left = i - 1;
right = i;
while(left >=0 && right < nLength && s[left] == s[right]){
left --;
right ++;
}
if(right - left - 1 > maxLength){
maxLength = right - left - 1;
strBegin = left + 1;
}
}
return s.substr(strBegin,maxLength);
}
};
- 思路3
class Solution {
public:
string longestPalindrome(string s) {
if(s.size() <= 1)
return s;
string dummy = init(s);
int nLength = dummy.size();
int maxLen = 0;
int mx = 0;
int id = 0;
vector<int> len(nLength, 0);
for(int i =1;i< nLength - 1; i++){
if(i < mx)
len[i] = min(len[2*id -i], mx - i);
else
len[i] = 1;
while(dummy[i - len[i]] == dummy[i + len[i]])
len[i] ++;
if(mx < i + len[i]){
id = i;
mx = i + len[i];
}
}
int index = 0;
for(int i = 1; i < nLength-1; i++){
if(len[i] > maxLen){
maxLen = len[i];
index = i;
}
}
return s.substr((index - maxLen)/2, maxLen-1);
}
//初始化
string init(const string& s){
string result = "$#";
int nLength = s.size();
for(int i=0;i < nLength; i++){
result.push_back(s[i]);
result.push_back('#');
}
return result;
}
};
Python
class Solution(object):
def longestPalindrome(self, s):
"""
:type s: str
:rtype: str
"""
if len(s) == 1:
return s
result = ""
for i in range(len(s)):
j = i + 1
while j <= len(s) and len(result) <= len(s[i:]):
if s[i:j] == s[i:j][::-1] and len(s[i:j]) > len(result):
result = s[i:j]
j += 1
return result
