欧拉函数

定义

记欧拉函数 \(\varphi(n)\) 表示 \(1\sim n\) 与 \(n\) 互质的整数的个数。

性质

1. 若 \(p\) 为质数，则 \(\varphi(p^k)=(p-1)\cdot\varphi(p^{k-1})\)。
2. \(\varphi\) 是积性函数。（积性函数 \(f\)：若 \(a,b\) 互质，则满足 \(f(ab)=f(a)\cdot f(b)\)）
3. 若 \(n=\prod_{i=1}^mp_i^{\alpha_i}\)，则 \(\displaystyle \varphi(n)=n\times\prod_{i=1}^m\frac{p_i-1}{p_i}\)。
4. 若 \(p\) 为质数，则 \(\varphi(p)=p-1\)。
5. 若 \(a\mid b\)，则 \(\varphi(ab)=a\times\varphi(b)\)。
6. 若 \(p\) 为质数且 \(p\mid n\)，则

\[\varphi(p)= \begin{cases} p\times\varphi(\frac{n}{p})&p^2\mid n\\ (p-1)\times\varphi(\frac{n}{p})&p^2\nmid n \end{cases} \]

7. 欧拉反演：\(\sum_{d\mid n}\varphi(d)=n\)。
8. 若 \(n>2\)，则 \(2\mid\varphi(n)\)。
9. 若 \(a\mid b\)，则 \(\varphi(a)\mid\varphi(b)\)。
10. 使得 \(\gcd(n,x)=d\) 的 \(1\leq x\leq n\) 的个数为 \(\displaystyle\varphi(\frac{n}{d})\)。

欧拉定理

若 \(a\) 和 \(p\) 互质，则

\[a^{\varphi(p)}\equiv1\pmod p \]

扩展欧拉定理

\[a^b\equiv \begin{cases} a^{b\bmod\varphi(p)}&\gcd(a,p)=1\\ a^b&\gcd(a,p)\neq 1,b<\varphi(p)\\ a^{b\bmod\varphi(p)+\varphi(p)}&\gcd(a,p)\neq 1,b\geq\varphi(p) \end{cases}\pmod p \]