Fair Distribution(2021 ZJCPC F)

题目大意

有 $t$ 组询问，每组询问有 $n$ 个机器人和 $m$ 块能量棒，定义合理分配当且仅当 $m$ 是 $n$ 的倍数。现在你有两种操作： $1、$ 使 $n$ 的大小减少 $1$ ； $2、$ 使 $m$ 的大小增加 $1$ 。每次操作都要消耗 $1$ 元，问达到合理分配的最小花费是多少。 $(1\leq t\leq1000,1\leq n,m\leq 10^8)$

思路

这道题一眼看过去想到的是 $BFS$ ，但是数据范围太大了，即使不 $MLE$ 也会 $T$ ，于是只好换个方向入手。首先很容易发现的是当 $m\leq n$ 是答案就是 $n-m$ ，然后我们看一下把 $n$ 减小 $a(0\leq a< n)$ 的情况，这时候 $m$ 就需要增加到 ${\lceil {m\over n-a}\rceil}*(n-a)$ ，即 $m$ 需要增加 $\lceil {m\over n-a}\rceil*(n-a)-m$ ，现在令 $i=n-a(1\leq i\leq n)$ ，于是 $m$ 就需要增加 $\lceil {m\over i}\rceil*(i)-m$ ，我们把上取整转化为下取整， $m$ 的增加量就变成了 $\lfloor {m+i-1\over i}\rfloor*i-m=(\lfloor{m-1\over i}\rfloor+1)*i-m$ 。于是总花费就是 $(\lfloor{m-1\over i}\rfloor+1)*i-m+n-i=\lfloor{m-1\over i}\rfloor*i-m+n$ ，而 $n-m$ 是一个定值，所以我们只需要知道 $\lfloor{m-1\over i}\rfloor*i$ 的最小值即可，而这个可以用整除分块来做，于是问题就被解决了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int _;
    scanf("%d",&_);
    while(_--)
    {
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n>=m){printf("%d\n",n-m);continue;}
        int minn=1000000000;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            minn=min(minn,(m-1)/i*i);
            i=(m-1)/((m-1)/i);
        }
        printf("%d\n",n-m+minn);
    }
    return 0;
}