CRC循环冗余校验码

对通信的可靠性检查就需要‘校验’，校验是从数据本身进行检查，它依靠某种数学上约定的形式进行检查，校验的结果是可靠或不可靠，如果可靠就对数据进行处理，如果不可靠，就丢弃重发或者进行修复。

CRC码是由两部分组成，前部分是信息码，就是需要校验的信息，后部分是校验码，如果CRC码共长n个bit，信息码长k个bit，就称为(n,k)码。 它的编码规则是：
1、首先将原信息码(kbit)左移r位(k+r=n)
2、运用一个生成多项式g(x)（也可看成二进制数）用模2除上面的式子，得到的余数就是校验码。

非常简单，要说明的：模2除就是在除的过程中用模2加，模2加实际上就是我们熟悉的异或运算，就是加法不考虑进位，公式是：
0+0=1+1=0,1+0=0+1=1
即‘异’则真，‘非异’则假。
由此得到定理：a+b+b=a 也就是‘模2减’和‘模2加’直值表完全相同。

有了加减法就可以用来定义模2除法，于是就可以用生成多项式g(x)生成CRC校验码。

例如： g(x)=x4+x3+x2+1,(7,3)码,信息码110产生的CRC码就是：
        101
11101 | 110,0000
    111 01
      1 0100
      1 1101
        1001
余数是1001，所以CRC码是110,1001

标准的CRC码是，CRC-CCITT和CRC-16，它们的生成多项式是：
CRC-CCITT=x16+x12+x5+1
CRC-16=x16+x15+x2+1

设编码前的原始信息多项式为P(x)，P(x)的最高幂次加1等于k；生成多项式为G(x)，G(x)的最高幂次等于r；CRC多项式为R(x)；编码后的带CRC的信息多项式为T(x)。
发送方编码方法：将P(x)乘以xr(即对应的二进制码序列左移r位)，再除以G(x)，所得余式即为R(x)。用公式表示为
T(x)=x^rP(x)+R(x)
接收方解码方法：将T(x)除以G(x)，如果余数为0，则说明传输中无错误发生，否则说明传输有误。

模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。步骤如下：

a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。

b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。

c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。

CRC里的除法不是简单的二进制除法，不信用附件里的计算器算出的结果与它的结果不一样。
CRC的二进制除法是这样的：

1111000 被除数
1101 除数
————
够除数的位数，商1
0010 余(除数与被除数前4位求异或得到的)
————
100 把被除数第5位挪下来
1101 除数
————
不够除，商0
1000 把被除数第6位挪下来
1101 除数
————
够除数的位数，商1
0101 余(仍然求异或)
————
1010 把被除数第7位挪下来
1101 除数
————
够除数的位数，商1
0111 余(仍然求异或)
————
被除数共7位，除完

所以得到商1011，余111