【莫比乌斯反演】关于ΣΦ(d|n)=n和Σμ(d|n)=0

首先先推第一个

\sum d | n ϕ (d) = n

我是这样想的每一个数字都可以分解为多个素数的乘积，那么

n = P a 1 1 \times P a 2 2 . . . . . . P a k k

假设这个时候我们将n乘Pk那么就变成了

n = P a 1 1 \times P a 2 2 . . . . . . P a k + 1 k

我们发现对于n来说其他的不是Pk的因数完全没有收到影响，那么其他的没有Pk的就可以表示为

f (n) = \sum d | n \sum t | d, t | P k μ (t) ϕ (d)

这个地方的莫比乌斯函数起到的作用就是令d和 P_k互质，这样的话 P_k就不会对f(n)造成影响
因为欧拉函数是积性函数那么令

F (n) = \sum d | n ϕ (d)

那么

F (n) = f (n) \times (ϕ (1) + ϕ (P k) + ϕ (P 2 k) . . . . . . + ϕ (P a k k))

同理

F (n \times P k) = f (n) \times (ϕ (1) + ϕ (P k) + ϕ (P 2 k) . . . . . . + ϕ (P a k k) + ϕ (P a k + 1 k))

那么可以发现化简后就变成了

ϕ(Ptk)=Ptk−Pt−1k

F (n) = f (n) \times (P a k k - P a k - 1 k + P k a k - 1 . . . + P k - 1 + 1)

F (n) = P a k k \times f (n)

同理

F (n \times P k) = P a k + 1 k \times f (n \times P k)

因为 P_k 在函数f 中没有产生影响 (因为之前的f(n)统计的是d中没有 P_k这个因数的d的欧拉函数和，n多一个因数P_k对f(n)没有产生影响 )所以

F (n \times P k) = P a k + 1 k \times f (n)

所以

F ( n \times P k ) F ( n ) = P a k + 1 k P a k k = P k

那么我们发现如果n乘上一个素数同时F(n) 也乘上这个素数那么

∵ F (n) * P k = F (n * P k) ∵ F (1) = 1

所以

\sum d | n ϕ (d) = n

下面来推

\sum d | n μ (d) = 0

我们发现同理

n = P a 1 1 \times P a 2 2 . . . . . . P a k k

如果某一个

a k > 1

那么就不用考虑这种因数只需要考虑

m = P 1 \times P 2 \times P 3 \times P 4 . . . \times P k

这样的话问题就变成了从k个因数中取奇数个和偶数个的种数的差的值是否为-1 可以很快的列出

- 1 \times ((1 n) + (3 n) . . + (n n)) + ((2 n) + (4 n) . . + (n - 1 n)) = - 1

这个等式是否成立呢?把这个式子展开然后放到杨辉三角中看

- (1 n) + (2 n) - (3 n) . . . - (n n)

那么要证明的就是杨辉三角一行从第一个空位开始-,+,-,+轮流填入符号求和是否为0 那么

a 1 a 2 a 3 a 4 . . . . a k

这个是杨辉三角中的一行

b 1 b 2 b 3 b 4 . . . . b k b k + 1

这个是下一行那么发现奇数个位置上的和就变成了

b 1 + b 3 + b 5 . . . + b k + 1 = (0 + a 1) + (a 2 + a 3) . . . .

就变成了上一行所有元素的和同理偶数个位置上的和就是

b 2 + b 4 + b 6 + b 8 . . . + b k = (a 1 + a 2) + (a 3 + a 4) . . . .

也等于上一行所有元素的和
那么相减 = 0 所以

- 1 \times ((1 n) + (3 n) . . + (n n)) + ((2 n) + (4 n) . . + (n - 1 n)) = 0 - a 1 = - 1

这个时候

- 1 + μ (1) = - 1 + 1 = 0

posted on 2015-05-28 13:29 JeremyGuo 阅读(819) 评论(0) 编辑收藏举报

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