【数论】关于乘法逆元的证明

首先我们需要知道

aϕ(p)≡1modp

那么为什我们要用乘法逆元呢？
答：在ab%p的时候如果a太大的话，long long也无法承受，所以我们转换成另一种方式(a×k)%p来替换那么我们就可以将分子的大小限制在p以内，那么就不会发生这样的情况，所以我们令k为b的乘法逆元，那么我们该如何求呢？首先根据（p是一个质数）所以我们有

bϕ(p)≡1modp

b×bϕ(p)−1≡1modp

那么此时有bϕ(p)−1为b的乘法逆元，我们可以带入实验一下

(a×k)%p=(a×bϕ(p)−1)%p=a×bϕ(p)b%p

根据上面可以发现

ab×bϕ(p)%p

因为%运算满足分配律所以

ab%p×(bϕ(p)%p)=ab%p

当然这一切的前提都是b与p互质。。。