【动态规划】[BZOJ1037][ZJOI2008]生日聚会Party

题目描述

今天是hidadz小朋友的生日，她邀请了许多朋友来参加她的生日party。 hidadz带着朋友们来到花园中，打算坐成一排玩游戏。为了游戏不至于无聊，就座的方案应满足如下条件：对于任意连续的一段，男孩与女孩的数目之差不超过k。很快，小朋友便找到了一种方案坐了下来开始游戏。hidadz的好朋友Susie发现，这样的就座方案其实是很多的，所以大家很快就找到了一种，那么到底有多少种呢？热爱数学的hidadz和她的朋友们开始思考这个问题…… 假设参加party的人中共有n个男孩与m个女孩，你是否能解答Susie和hidadz的疑问呢？由于这个数目可能很多，他们只想知道这个数目除以12345678的余数。

仅包含一行共3个整数，分别为男孩数目n, 女孩数目m, 常数k。

应包含一行，为题中要求的答案。

样例输入

1 2 1

样例输出

1

题目解析

首先我们可以发现，我们如果定义状态，至少要2维（总人数，女生）那么经过观察如果仅仅是2维的话，我们并不能找到（总人数+1， 女生）或者（总人数+1，女生+1）的状态转移，那么我们多开一维表示当前从尾部开始的一直往前的每一个后缀子串中的差值最大是多少，但是由于每一次我们可以增加男生或者增加女生，我们并不能确定当男生增加（或者女生增加）时这个差值是+1或者-1所以我们再开一维表示分别表示男生比女生多和女生比男生多的数量。所以我们可得到

dp(i,j,k,p)

我们可以发现如果当前的男生+1那么有

dp(i+1,j,k+1,p−1)+=dp(i,j,k,p)

但是如果此时女生本来就一个都没有那么p本身就是0了那么

dp(i+1,j,k+1,max{0,p−1})+=dp(i,j,k,p)

同理有

dp(i+1,j+1,max{0,k−1},p+1)+=dp(i,j,k,p)

本题就是这样。。。

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 150;
const int MAXK = 20;
const int MOD = 12345678;
int dp1[MAXN+10][MAXK+2][MAXK+2], dp2[MAXN+10][MAXK+2][MAXK+2];
int main(){
    freopen("party.in", "r" , stdin);
    freopen("party.out", "w", stdout);
    int n, m, k;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    int sum = n + m;
    dp1[0][0][0] = 1;
    for(int i=0;i<sum;i++){
        swap(dp1, dp2);
        memset(dp1, 0, sizeof dp1);
        for(int j=0;j<=min(i, m);j++){
            for(int k1=0;k1<=k;k1++){
                for(int k2=0;k2<=k;k2++){
                    dp1[j+1][max(k1-1, 0)][k2+1] += dp2[j][k1][k2];
                    dp1[j][k1+1][max(k2-1, 0)] += dp2[j][k1][k2];
                    dp1[j][k1][k2] %= MOD;
                }
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int k1=0;k1<=k;k1++){
        for(int k2=0;k2<=k;k2++){
            ans = (ans + dp1[m][k1][k2]) % MOD;
        }
    }
    printf("%d\n", ans);

    return 0;
}