【图论】欧拉路浅谈

欧拉路

• 概念

  欧拉路：在一个图中，可以从其中一点出发，不重复地走完其所有边，那么这个图就称为欧拉图。

  如果起点和终相同，那么这个图为欧拉回路。

  欧拉路路存在的充要条件：

  1.图是连通的，若不连通不可能一次性遍历所有边。

  2.对于无向图：有且仅有两个点，与其相连的边数为奇数，其他点相连边数为偶数；或所有点为偶数点。对于两个奇数点，一个为起点，一个为终点。起点需要出去，终点需要进入，所以与奇数个点相连。

  如果存在这样一个欧拉路，其所有点相连边数都为偶数，那说明它是欧拉回路。

  3.对于有向图：除去终点和起点，所有点的入度和出度相等。起点出度比入度大1，终点入度比出度大1.若起点和终点出入度也相同，则为欧拉回路。

  欧拉路一般称为一笔画问题。

• 求解

  DFS

  设给定一张图，已知这张图是欧拉路，要求输出整条欧拉路。

  此时可以采用DFS来遍历整张图，寻找欧拉路。

  使用DFS寻找欧拉路的基本思想如下：

  DFS寻找到第一个无边可走的节点，则这个节点必定为终点。

  接下来由于DFS的递归回溯，会退回终点的上一个节点，继续往下搜索，直到寻找到第二个无边可走的节点，则这个节点必定为欧拉路中终点前最后访问的节点。

  于是当通过DFS遍历完整张图后，就可以倒序储存下整个欧拉路。

  #include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
  int edge[1000][1000];
  //为了方便优先访问编号小的节点，这里使用邻接矩阵来存边
  //如果使用vector来存图，那还需要对每个节点连接的边进行排序
  int ans[1000000];
  int degree[1000];//用于储存每个点的度，以求起点
  int p=0;
  void dfs(int now)
  {
      for(int i=1;i<=1000;i++)//顺序寻找可访问的边，优先找编号小的节点
      {
          if(edge[now][i])//若这条边尚未访问过
          {
              edge[now][i]--;//已访问过的边要删去，防止重复访问
              edge[i][now]--;//有向图的话请删去这一行
              dfs(i);
          }
      }
      ans[++p]=now;//将访问的节点储存进答案数组
      //由于递归的特性，这里储存的是逆序过程
  }
  int main()
  {
      int n;
      cin>>n;//边的个数
      for(int i=1;i<=n;i++)
      {
          int a,b;
          cin>>a>>b;
          edge[a][b]++;
          edge[b][a]++;//有向图的话删去这行
          degree[a]++,degree[b]++;//两个点的度都+1
      }
      int start=0;
      for(int i=1;i<=1000;i++)
      {
          if(degree[i]%2)//如果找到奇数点
          {
              start=i;//那这个奇数点就作为起点，由于顺序遍历，这个起点编号必定最小
              break;
          }
      }
      if(!start)//如果还没找到奇数点，说明是欧拉回路
      {
          for(int i=1;i<=1000;i++)
              if(degree[i])//寻找最小的有度的点即可
              {
                  start=i;
                  break;
              }
      }
      dfs(start);//dfs寻找欧拉路
      for(int i=p;i>=1;i--)
          cout<<ans[i];//输出给定的欧拉路
    return 0;
  }