一、向量的卷积运算
给定两个n维向量α=(a0, a1, ..., an-1)T，β=(b0, b1, ..., bn-1)T，则α与β的卷积运算定义为：
α*β=(c0, c1, ..., c2n-2)T，其中
事实上，“卷积”的含义从矩阵αβT的表示即可以看出：不难发现，ck即为第k列副对角线元素之和。形象地讲，对α与β作卷积，就像是将由α与β的元素形成的下述矩阵“面”沿副对角线方向卷了起来得到的“一束”向量。
卷积的蛮力算法的时间复杂度为O(n2)。为提高算法效率，可以采用分治策略，这将在下一篇博文有关快速傅立叶变换的内容中予以介绍。
二、卷积应用
2.1 多项式乘法
卷积运算与多项式乘法是对应的。不难验证，设多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+...+am-1xm-1, g(x)=b0+b1x+b2x2+...+bn-1xn-1，则f(x)g(x)得到的多项式的系数列向量就刚好是对f(x)与g(x)的系数列向量的卷积运算的结果。
2.2 信号平滑处理
由于噪声干扰，信号往往需要进行平滑处理。
设信号向量为α=(a0, a1, ..., am-1)，权向量β=(b2k, b2k-1, ..., b0)=(w-k, ..., wk)。一个比较常用的权向量的例子是高斯滤波权值向量，其中
这里z用于归一化处理。
运用权向量β与信号向量α的卷积，我们可以实现为信号去噪，得到向量γ=(a'0, a'1, ..., a'm-1)，其中
不过，对于边界上的元素，由于缺项无法对齐，经过运算后可能存在误差。
